Fizyka

Przykład 1. Calculating Velocities Following an Elastic Collision

Oblicz prędkości dwóch obiektów po zderzeniu sprężystym, biorąc pod uwagę, że m1 = 0.500 kg, m2 = 3.50 kg, v1 = 4.00 m/s, and v2 = 0.

Strategia i koncepcja

Najpierw zobacz, co oznaczają warunki początkowe – mały obiekt uderza w większy obiekt, który jest początkowo w spoczynku. Ta sytuacja jest nieco prostsza niż sytuacja pokazana na Rysunku 1, gdzie oba obiekty są początkowo w ruchu. Mamy za zadanie znaleźć dwie niewiadome (prędkości końcowe v′1 i v′2). Aby znaleźć dwie niewiadome, musimy użyć dwóch niezależnych równań. Ponieważ zderzenie to jest sprężyste, możemy użyć dwóch powyższych równań. Oba mogą być uproszczone przez fakt, że obiekt 2 jest początkowo w spoczynku, a zatem v2=0. Po uproszczeniu tych równań, łączymy je algebraicznie, aby rozwiązać dla niewiadomych.

Rozwiązanie

Dla tego zadania, zauważ, że v2=0 i użyj zachowania pędu. Zatem,

p1 = p′1 + p′2 lub m1v1=m1v′1+m2v′2.

Używając zachowania wewnętrznej energii kinetycznej i tego, że v2=0,

Rozwiązując pierwsze równanie (równanie pędu) dla v′2, otrzymujemy

v′_2=frac{m_1}{m_2}left(v_1-v′_1}right)\.

Wstawienie tego wyrażenia do drugiego równania (równanie wewnętrznej energii kinetycznej) eliminuje zmienną v′2, pozostawiając jedynie v′1 jako niewiadomą (algebrę pozostawiamy jako ćwiczenie dla czytelnika). Istnieją dwa rozwiązania dowolnego równania kwadratowego; w tym przykładzie są to

v′1 = 4 . 00 m/s i v′1=-3.00 m/s.

Jak zauważono, gdy napotkano równania kwadratowe we wcześniejszych rozdziałach, oba rozwiązania mogą, ale nie muszą być znaczące. W tym przypadku pierwsze rozwiązanie jest takie samo jak warunek początkowy. Pierwsze rozwiązanie reprezentuje więc sytuację przed zderzeniem i jest odrzucane. Drugie rozwiązanie (v′1=-3,00 m/s) jest ujemne, co oznacza, że pierwszy obiekt odbija się do tyłu. Gdy ta ujemna wartość v′1 zostanie użyta do znalezienia prędkości drugiego obiektu po zderzeniu, otrzymamy

v′_2= ↓(v_1-v′_1 ↓)= ↓{0.500}{3.50}{m/s}}

lub

v′2=1.00 m/s.

Dyskusja

Wynik tego przykładu jest intuicyjnie uzasadniony. Mały obiekt uderza w większy w spoczynku i odbija się do tyłu. Większy obiekt zostaje odrzucony do przodu, ale z małą prędkością. (To jest jak kompaktowy samochód odbijający się do tyłu od pełnowymiarowego SUV-a, który początkowo jest w spoczynku). Dla sprawdzenia, spróbuj obliczyć wewnętrzną energię kinetyczną przed i po zderzeniu. Zobaczysz, że wewnętrzna energia kinetyczna pozostaje niezmieniona i wynosi 4,00 J. Sprawdź również całkowity pęd przed i po zderzeniu; zobaczysz, że on również pozostaje niezmieniony.

Zapisane powyżej równania zachowania pędu i wewnętrznej energii kinetycznej mogą być użyte do opisu dowolnego jednowymiarowego sprężystego zderzenia dwóch obiektów. W razie potrzeby równania te można rozszerzyć na większą liczbę obiektów.