Jak dobry jest Twój wynik w kręgle?

.
.

„Wszystko będzie dobrze, jeśli użyjesz swojego umysłu do swoich decyzji, a umysłu tylko do swoich decyzji.” Od 2007 roku poświęciłem swoje życie, aby dzielić się radością z teorii gier i matematyki. MindYourDecisions ma teraz ponad 1,000 darmowych artykułów bez reklam dzięki wsparciu społeczności! Pomagaj i uzyskaj wczesny dostęp do postów, składając zobowiązanie na Patreon.

.
.

Zazwyczaj gram w kręgle z wynikiem około 130, ale tamtego dnia trafiłem sześć strików i skończyłem z 215.

Poświęciłem chwilę, by nacieszyć się wysokim wynikiem, ale potem zacząłem myśleć bardziej krytycznie. Byłem ciekaw, jak dobry był ten wynik w sensie statystycznym.

Byłem z przyjaciółmi myślącymi matematycznie i nasza dyskusja przyniosła wiele pytań.

Jak wiele różnych gier w kręgle jest możliwych? Jaki jest średni wynik gry w kręgle? Na ile sposobów można osiągnąć każdy wynik gry w kręgle (jaka jest dystrybucja wyników gry w kręgle)?

Zrobiłem trochę badań i z przyjemnością dowiedziałem się, że ludzie już zrobili matematykę, aby odpowiedzieć na te pytania. Oto część interesującej matematyki.

Pisanie gry w kręgle w kategoriach matematycznych

Pierwszym krokiem do rozwiązania problemu jest przetłumaczenie gry w kręgle na matematykę. Chodzi o to, aby opracować krótką notację, która pozwoli zwięźle opisać grę. Posłużę się notacją opracowaną w artykule „Is the Mean Bowling Score Awful.”

Rozważmy pierwszą ramkę gry. Jakie są możliwe wyniki, gdy wbijasz kulę?

Jedną z możliwości jest wbicie wszystkich 10 kręgli i pierwsza ramka się kończy.

Inną możliwością jest nie wbicie wszystkich 10 kręgli. Wtedy masz drugą szansę, aby trafić pozostałe kołki. Jeśli trafisz pozostałe piny, to jest to spare.

Matematycznie możemy modelować bowls jako zbiór dwóch liczb: liczba pinów strąconych przy pierwszym rzucie i liczba przy drugim. Możemy to zapisać jako zbiór uporządkowany (pierwszy rzut, drugi rzut) = (x , y).

Jeśli strącisz 3 kręgle, a potem 4, to zbiorem jest (3, 4). Albo jeśli strącisz 3, a potem 7, aby zrobić zapas, to będzie napisane (3,7)

W strike strącasz wszystkie 10 kręgli i nie dostajesz drugiego rzutu. Możemy napisać ten specjalny przypadek jako (10, 0) ze zrozumieniem, że nigdy nie faktycznie wykonane drugi rzut.

Z tego zapisu, możemy zwięźle opisać możliwe wyniki w pierwszej ramce. Wyniki można zapisać jako uporządkowaną parę dwóch liczb, gdzie obie liczby są zerowe lub dodatnie, a suma tych dwóch liczb wynosi co najwyżej 10 – ponieważ najwięcej, co można strącić w jednej klatce, to 10 kołków.

W notacji zbiorów, jest to zapisane

Pierwsze dziewięć klatek gry działa w ten sam sposób.

Dziesiąta klatka gry jest nieco inna. Jeśli dostaniesz strike w pierwszym rzucie, lub spare w drugim rzucie, dostajesz do wykonania bonusowy trzeci rzut w dziesiątej ramce. Dlatego dziesiąta ramka musi być reprezentowana przez trzy liczby, ze specjalnymi relacjami zależnymi od tego, czy został wykonany strike czy spare.

Są cztery różne możliwości:

-Dwa rzuty są wykonane, mniej niż 10 jest strąconych (nie ma trzeciego rzutu)
-Drugi rzut jest spare
-Pierwszy rzut jest strike, ale drugi nie jest
-Dwa strike’i są wykonane

Zapis staje się bardziej skomplikowany, ale zasadniczo jest to jak zapisałbyś te cztery możliwości w notacji zbiorów. Here is the formal description:

Therefore, we can write a bowling game as nine pairs of elements from set A and one element from set B.

In other words, a bowling game is a sequence:

And viola, we have a mathematical way to write out a bowling game.

We will address how to account for scoring of spares and strikes in a bit, as this is more complicated.

How many bowling games are possible?

This question is easier to answer since we have a notation system for a bowling game.

We know the first nine frames of a bowling game are elements from set A and the tenth frame is from set B as described above.

It remains to count the number of elements in each of these sets. Następnie mnożymy liczbę sposobów, aby otrzymać liczbę wszystkich gier.

Zbiór A to liczba sposobów, na jakie dwie dodatnie liczby całkowite sumują się do 10 lub mniej. Jest to klasyczny problem kombinatoryki.

Istnieje sprytny sposób na policzenie liczby rozwiązań. Za pośrednictwem Google Books znalazłem pochodną na znalezienie liczby sposobów, na jakie n nieujemnych liczb całkowitych sumuje się do liczby całkowitej r:

Link do strony 46 w Principles and techniques in combinatorics at Google Books

Wzór to C(r + n -1, r)

W naszym zbiorze zadań chcemy znaleźć sposób, w jaki dwie liczby (n = 2) sumują się do 10 lub mniej (r = 10, 9, 8, …, 0).

Chcemy obliczyć wzór dla każdej wartości r, a następnie zsumować je wszystkie. To jest mniej pracy niż się wydaje.

Dla r = 10, widzimy, że formuła jest C(11, 10), który jest 11. Dla r = 9, wzór staje się C(10, 9), który jest 10. Wzór kontynuuje dla niższych wartości r, więc w końcu chcemy podsumować 11 + 10 + 9 + … 1.

To jest łatwo obliczane jako 66. Tak więc istnieje 66 sposobów dla każdej z pierwszych dziewięciu klatek.

Chcemy teraz poznać liczbę sposobów dla dziesiątej klatki.

Proces jest taki sam jak poprzednio. Oszczędzę szczegółów i powiem tylko, że odpowiedź to 241.

Teraz możemy obliczyć całkowitą liczbę gier w kręgle, mnożąc te liczby razem.

Całkowita liczba gier w kręgle to (66 x 66 x 66 … x 66) (241) = (66 9) (241), czyli około 5.7 x 1018

Nie jest to liczba zbliżona do liczby możliwych gier w szachy, ale nadal jest to naprawdę duża liczba.

Aby przedstawić to w perspektywie, potrzeba by całego świata (6.7 x 109), grającego codziennie, ponad 2.3 miliona lat, aby rozegrać tyle różnych gier.

Jaki jest średni wynik gry w kręgle?

Ta część staje się jeszcze bardziej skomplikowana matematycznie.

Trick polega na przekształceniu zestawów w wyniki, w oparciu o specjalne zasady dla spares (premia następnego rzutu) i strikes (premia dwóch następnych rzutów).

Wtedy średnia może być obliczona poprzez zsumowanie wszystkich możliwych wyników przez liczbę gier, która została uzyskana wcześniej.

Średni wynik gry w kręgle okazuje się być około 80 (lub, aby być precyzyjnym, bardziej jak 79.7).

Przyjmij to jako zapewnienie, że nawet skromny wynik jak 100 jest ponadprzeciętny!

Szczegóły wyprowadzania są wyjaśnione w następującym fragmencie:

Link do Mean bowling score at Google Books

Artykuł jest datowany, ponieważ kończy się pozostawieniem otwartej kwestii określenia pełnego rozkładu wyników w kręgle. To w rzeczywistości zostało zrobione.

Jaki jest rozkład wyników w kręglach?

Ostatnim i naprawdę trudnym pytaniem jest znalezienie rozkładu wyników w kręglach.

To znaczy, dla każdego wyniku n, jaka jest liczba sposobów s(n) na osiągnięcie tego wyniku.

W niektórych przypadkach odpowiedź jest oczywista. Jest tylko 1 sposób, aby uzyskać wynik 0, tak jak jest tylko 1 sposób, aby uzyskać wynik 300, lub 299, lub 298, i tak dalej aż do 291.

Inne przypadki są bardziej skomplikowane, aby dowiedzieć się. Jest 20 sposobów na zdobycie 1, i jest 11 sposobów na zdobycie 290.

Określenie całej dystrybucji wymaga sprytnych obliczeń. Wyniki są opisane na tej wspaniałej stronie internetowej, która zawiera następującą ładną grafikę:

Źródło obrazu: all about bowling scores

Zauważ, że wyniki w kręglach są mocno skośne! Wyniki powyżej 120 są mniej prawdopodobne, ponieważ wymaga to od gracza uzyskania rozsądnej liczby spares i strikes.

Innym sposobem, aby o tym pomyśleć jest to, że nawet skromny wynik 115 jest w 99 percentylu.

Pamiętaj o tym następnym razem, gdy będziesz grał w kręgle. Biorąc pod uwagę zakres możliwych wyników gry w kręgle, twój wynik jest prawdopodobnie lepszy niż myślisz!

(percentyle się zmienią, jeśli oprzemy rozkład na rzeczywistych danych dotyczących gry w kręgle. Niestety nie udało mi się znaleźć żadnych statystyk na ten temat.)