Skalar (matematyka)

Skalary są liczbami rzeczywistymi używanymi w algebrze liniowej, w przeciwieństwie do wektorów. Ten obrazek przedstawia wektor euklidesowy. Jego współrzędne x i y są skalarami, podobnie jak jego długość, ale v nie jest skalarem.

Skalary przestrzeni wektorowychEdit

Przestrzeń wektorowa jest zdefiniowana jako zbiór wektorów, zbiór skalarów i operacja mnożenia skalarnego, która przenosi skalar k i wektor v do innego wektora kv. Na przykład, w przestrzeni współrzędnych, mnożenie skalarne k ( v 1 , v 2 , … , v n ) {{displaystyle k(v_{1},v_{2},\dots ,v_{n})}

yields ( k v 1 , k v 2 , … , k v n ) {displaystyle (kv_{1},kv_{2},\dots ,kv_{n})}

. W przestrzeni funkcji (liniowych) kƒ jest funkcją x ↦ k(ƒ(x)).

Skalary mogą pochodzić z dowolnego pola, w tym z pola racjonalnego, algebraicznego, liczb rzeczywistych i zespolonych, a także z pól skończonych.

Skalary jako składowe wektoraEdit

Zgodnie z fundamentalnym twierdzeniem algebry liniowej, każda przestrzeń wektorowa ma podstawę. Wynika z tego, że każda przestrzeń wektorowa nad polem skalarnym K jest izomorficzna z przestrzenią wektorową współrzędnych, gdzie współrzędne są elementami K. Na przykład, każda rzeczywista przestrzeń wektorowa wymiaru n jest izomorficzna z n-wymiarową przestrzenią rzeczywistą Rn.

Skalary w normowanych przestrzeniach wektorowychEdit

Alternatywnie, przestrzeń wektorowa V może być wyposażona w funkcję norm, która przypisuje każdemu wektorowi v w V skalar ||v||. Z definicji, mnożąc v przez skalar k mnożymy również jego normę przez |k|. Jeśli ||v|| jest interpretowane jako długość v, to operacja ta może być opisana jako skalowanie długości v przez k. Przestrzeń wektorowa wyposażona w normę jest nazywana normowaną przestrzenią wektorową (lub normowaną przestrzenią liniową).

Norma jest zwykle definiowana jako element pola skalarnego K w V, co ogranicza to pole do pól, które obsługują pojęcie znaku. Ponadto, jeśli V ma wymiar 2 lub więcej, K musi być zamknięte pod pierwiastkiem kwadratowym, jak również cztery operacje arytmetyczne; zatem liczby racjonalne Q są wykluczone, ale pole surd jest dopuszczalne. Z tego powodu, nie każda przestrzeń iloczynu skalarnego jest normowaną przestrzenią wektorową.

Skalary w modułachEdit

Gdy wymóg, że zbiór skalarów tworzy pole jest złagodzony tak, że musi on tylko tworzyć pierścień (tak, że, na przykład, podział skalarów nie musi być zdefiniowany, lub skalary nie muszą być komutatywne), wynikowa bardziej ogólna struktura algebraiczna jest nazywana modułem.

W tym przypadku „skalary” mogą być skomplikowanymi obiektami. Na przykład, jeśli R jest pierścieniem, wektory przestrzeni iloczynowej Rn mogą być przekształcone w moduł z macierzami n×n z wejściami z R jako skalarami. Inny przykład pochodzi z teorii rozmaitości, gdzie przestrzeń odcinków wiązki stycznej tworzy moduł nad algebrą funkcji rzeczywistych na rozmaitości.

Transformacja skalarnaEdit

Mnożenie skalarne przestrzeni wektorowych i modułów jest szczególnym przypadkiem skalowania, rodzajem transformacji liniowej.

Operacje skalarne (informatyka)Edytuj

Operacje, które mają zastosowanie do pojedynczej wartości w tym samym czasie.

• Procesor skalarny vs. procesor wektorowy lub procesor superskalarny
• Zmienna (informatyka) czasami określana również jako „skalar”

.