The Distance Formula
= √(x – a)² + (y – b)²
As an example, the (Euclidean) distance between points (2, -1) and (-2, 2) is found to be
| dist((2, -1), (-2, 2)) | = √(2 – (-2))² + ((-1) – 2)² | |
| = √(2 + 2)² + (-1 – 2)² | ||
| = √(4)² + (-3)² | ||
| = √16 + 9 | ||
| = √25 | ||
| = 5. |
The source of this formula is in the Pythagorean theorem. Look at the diagram
The horizontal distance between the points is 4 and the vertical distance is 3. Let’s introduce one more point (-2, -1). Z tym małym dodatkiem otrzymamy trójkąt prostokątny o nogach 3 i 4. Z twierdzenia Pitagorego wynika, że kwadrat przeciwprostokątnej jest równy (przeciwprostokątna)² = 3² + 4². Co daje długość przeciwprostokątnej równą 5, czyli taką samą jak odległość między dwoma punktami według wzoru na odległość. Tak jest oczywiście zawsze: odcinek prostej, którego długość jest równa odległości między jego końcami, zawsze służy jako przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego (w rzeczywistości jest ich nieskończenie wiele, my po prostu wybraliśmy najwygodniejszy.)
Jak dobry jest wzór na odległość (euklidesowy) do mierzenia rzeczywistych odległości? To zależy od okoliczności. Na płaszczyźnie – ponieważ Ziemia jest okrągła, oznacza to, że w stosunkowo małych obszarach powierzchni Ziemi – jest całkiem dobry, pod warunkiem, że odległość jest dokładnie tym, co chcesz oszacować. Jeśli pytanie brzmi: Jak szybko można dostać się z jednego punktu do drugiego, poruszając się z daną prędkością, wzór euklidesowy może nie być zbyt użyteczny w udzielaniu odpowiedzi. W rzeczywistości, w mieście – tylko dla jednego przykładu – często niemożliwe jest przejście z jednego punktu prosto do drugiego. Istnieją budynki, ulice zajęte przez ruch uliczny, ogrodzenia i inne rzeczy, które należy wziąć pod uwagę. W mieście często okazuje się, że bardziej przydatna jest formuła odległości taksówkowej
dist((x, y), (a, b)) = |x – a| + |y – b|
. W matematyce odległość euklidesowa jest najbardziej fundamentalna. Jak pokazuje jeden z mechanicznych dowodów twierdzenia pitagorejskiego, podobnie jest również w fizyce, choć w żadnej z tych nauk nie jest to jedyny stosowany wzór na odległość.
Odległość taksówki/miasta.
- Poszukiwanie skarbów w siatce kwadratowej
- Poszukiwanie skarbów spoza siatki
- Przedmioty odległe i bliskie
- Farmer i żona łapią koguta i kurę
- Wzór na odległość
- Co to jest geometria?
|Contact||Front page||Contents||Geometry|