Física
Exemplo 1. Cálculo das velocidades após uma colisão elástica
Calcular as velocidades de dois objetos após uma colisão elástica, dado que m1 = 0,500 kg, m2 = 3,50 kg, v1 = 4,00 m/s, e v2 = 0,
Estratégia e Conceito
P>Primeiro, visualizar o que significam as condições iniciais – um objeto pequeno atinge um objeto maior que está inicialmente em repouso. Esta situação é ligeiramente mais simples do que a situação mostrada na Figura 1, onde ambos os objetos estão inicialmente em movimento. Pede-se que encontremos duas incógnitas (as velocidades finais v′1 e v′2). Para encontrarmos duas incógnitas, devemos usar duas equações independentes. Como esta colisão é elástica, podemos usar as duas equações acima. Ambas podem ser simplificadas pelo facto do objecto 2 estar inicialmente em repouso, e assim v2=0. Uma vez simplificadas estas equações, combinamo-las algébricamente para resolver para as incógnitas.
Solução
Para este problema, note-se que v2=0 e use a conservação do momento. Assim,
p1 = p′1 + p′2 ou m1v1=m1v′1+m2v′2.
Utilizando a conservação de energia cinética interna e que v2=0,
\frac{1}{2}m_1{v_1}^2=\frac{1}{2}m_1{v′_1}^2+\frac{1}{2}m_2{v′_2}^2}
p>Solucionando a primeira equação (equação de momentum) para v′2, obtemos
v′_2===frac{m_1}{m_2}{m_2}{m_1-v′_1}direita){\i}.
Substituindo esta expressão na segunda equação (equação de energia cinética interna) elimina a variável v′2, deixando apenas v′1 como um desconhecido (a álgebra é deixada como um exercício para o leitor). Há duas soluções para qualquer equação quadrática; neste exemplo, elas são
v′1 = 4 . 00 m/s e v′1=-3.00 m/s.
Como observado quando equações quadráticas foram encontradas em capítulos anteriores, ambas as soluções podem ou não ser significativas. Neste caso, a primeira solução é a mesma que a condição inicial. A primeira solução representa assim a situação antes da colisão e é descartada. A segunda solução (v′1=-3.00 m/s) é negativa, o que significa que o primeiro objeto salta para trás. Quando este valor negativo de v′1 é usado para encontrar a velocidade do segundo objecto após a colisão, obtemos
v′_2=\frac{m_1}{m_2}{m_2}{esquerda(v_1-v′_1\direita)==frac{0.500\text{ kg}{3.50\text{ kg}}{m/s}{m/s}}{p>>p>ou
v′2=1.00 m/s.
Discussão
O resultado deste exemplo é intuitivamente razoável. Um objeto pequeno atinge um objeto maior em repouso e salta para trás. O maior é batido para a frente, mas com uma velocidade baixa. (Isto é como um carro compacto que salta para trás de um SUV de tamanho normal que está inicialmente em repouso). Como verificação, tente calcular a energia cinética interna antes e depois da colisão. Você verá que a energia cinética interna está inalterada às 4,00 J. Verifique também o momento total antes e depois da colisão; você também a encontrará inalterada.
As equações para conservação do momento e da energia cinética interna, como escritas acima, podem ser usadas para descrever qualquer colisão elástica unidimensional de dois objetos. Estas equações podem ser estendidas a mais objetos, se necessário.