Math As Language: Compreender o Sinal de Igualdade

Maio 15, 2021admin

É fácil esquecer que a matemática é uma linguagem para comunicar ideias. Como palavras, “dois e três é igual a cinco” é incómodo. A substituição de números e operações por símbolos ajuda: “2 + 3 é igual a 5”.

Mas nós podemos fazer melhor. Em 1557, Robert Recorde inventou o sinal de igual, escrito com duas linhas paralelas (=), porque “noe 2 thynges, pode ser moare equalle”.

“2 + 3 = 5” é muito mais fácil de ler. Sem querer, o significado de “igual” muda com o contexto – basta perguntar aos programadores que têm de distinguir =, == e ====.

A “igual” B é uma conclusão genérica: que relação específica estamos a tentar transmitir?

Simplificação

Vejo “2 + 3 = 5” porque “2 + 3 = 5″ pode ser simplificado para 5”. O sinal igual transita uma forma complexa à esquerda para uma forma equivalente e mais simples à direita.

Atribuição Temporária

Declarações como “velocidade = 50” significam “a velocidade é 50, para este cenário”. É apenas bom para o problema em questão, e não há necessidade de lembrar este “fato”.

Conexão Fundamental

Considerar uma verdade matemática como $a^2 + b^2 = c^2$, onde a, b, e c são os lados de um triângulo direito.

Leio este sinal de igualdade como “deve ser sempre igual a” ou “pode ser visto como”, pois ele afirma uma relação permanente, não uma coincidência. A aritmética de $3^2 + 4^2 = 5^2$ é uma simplificação; a geometria de $a^2 + b^2 = c^2$ é uma verdade matemática profunda.

A fórmula para adicionar 1 a n é:

$\displaystyle{\frac{n(n+1)}{2}}$

que pode ser visto como um tipo de rearranjo geométrico, combinatório, média, ou até mesmo listagem.

Definição factual

Declarações como

$\displaystyle{e = \i_lim_{n\i}infty} \esquerda( 1 + 100%) ^n ^n ^n ^n}$

p>são definições à nossa escolha; o lado esquerdo é um atalho para o lado direito. É semelhante à atribuição temporária, mas reservado para “fatos” que não mudam entre cenários (e tem sempre o mesmo valor em todas as equações, mas “velocidade” pode mudar).

Constraints

Aqui está um complicado. Podemos escrever

x + y = 5

x – y = 3

o que indica as condições que queremos que sejam verdadeiras. Eu li isto como “x + y deve ser 5, se possível” e “x – y deve ser 3, se possível”. Se satisfazermos as restrições (x=4, y=1), óptimo!

se não conseguirmos atingir os dois objectivos (x + y = 5; 2x + 2y = 9) então as equações podem ser verdadeiras individualmente mas não em conjunto.

Exemplo: Desmistificar a fórmula de Euler

Antangular o sinal de igualdade ajudou-me a descodificar a fórmula de Euler:

$\displaystyle{e^{i \cdot \pi} = -1}$ \displaystyle{e^{i \cdot \pi} = -1}

Uma besta estranha, de facto. Que tipo de “igual” é?

Um pedante pode dizer que é apenas uma simplificação e quebrar o módulo para mostrá-lo. Isto não é esclarecedor: há uma relação fundamental a descobrir.

e^i*pi refere-se ao mesmo destino que -1. Dois dedos apontando para a mesma lua.

são as duas formas de descrever “o outro lado do círculo unitário, a 180 graus de distância”. -1 caminha por ali, pisando diretamente na grama, enquanto e^i*pi toma o caminho cênico e gira através da dimensão imaginária. Isto funciona para qualquer ponto da circunferência: gira ali, ou move-se em linhas rectas.

fórmula do elenco's formula

Dois caminhos com o mesmo destino: é isso que significa a sua igualdade. Move beyond a generic equals and find the deeper, specific connection (“simplifies to”, “has been chosen to be”, “refers to the same concept as”).

Happy math.

Math As Language: Compreender o Sinal de Igualdade

Exemplo: Desmistificar a fórmula de Euler

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