Quão boa é a tua pontuação no bowling?
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“Tudo será bem se usares a tua mente para as tuas decisões, e cuida apenas das tuas decisões”. Desde 2007, tenho dedicado a minha vida a partilhar a alegria da teoria dos jogos e da matemática. MindYourDecisions agora tem mais de 1.000 artigos gratuitos sem anúncios graças ao apoio da comunidade! Ajude e tenha acesso antecipado a posts com uma promessa no Patreon.
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Eu geralmente lanço uma pontuação em torno de 130, mas no outro dia eu acertei seis strikes e acabei com 215.
Eu levei um momento para me divertir com a pontuação alta, mas depois pensei mais criticamente. Eu estava curioso sobre como a pontuação era boa no sentido estatístico.
Eu estava com alguns amigos de matemática e nossa discussão trouxe muitas perguntas.
Quantos jogos de boliche diferentes são possíveis? Qual é a pontuação média do bowling? Quantas formas de atingir cada pontuação de bowling (qual é a distribuição das pontuações de bowling)?
Fiz um pouco de pesquisa e fiquei satisfeito por saber que as pessoas já fizeram as contas para responder a estas perguntas. Aqui estão algumas das matemáticas interessantes.
Escrever um jogo de bowling em termos matemáticos
O primeiro passo no problema é traduzir um jogo de bowling em matemática. A ideia é desenvolver uma notação curta de mão para descrever o jogo de forma compacta. Vou seguir a notação desenvolvida neste artigo “Is the Mean Bowling Score Awful”
Considerar o primeiro quadro de um jogo. Quais são os resultados possíveis quando se lança a bola?
Uma possibilidade é derrubar todos os 10 pinos com um strike e o primeiro frame termina.
A outra possibilidade é não derrubar todos os 10 pinos. Então você tem uma segunda chance de acertar os pinos restantes. Se você acertar os pinos restantes, é um spare.
Matematicamente podemos modelar as taças como um conjunto de dois números: o número de pinos derrubados no primeiro lançamento, e o número no segundo. Podemos escrever isto como um conjunto ordenado (primeiro lançamento, segundo lançamento) = (x , y).
Se você derrubar 3 pinos e depois 4, o conjunto é (3, 4). Ou se você derrubar 3 e depois 7 para fazer um spare, isso seria escrito (3,7)
Em um strike você derruba todos os 10 pinos e não recebe um segundo arremesso. Podemos escrever este caso especial como (10, 0) com o entendimento de que você nunca fez um segundo lançamento.
Com esta notação, podemos descrever compactamente os possíveis resultados no primeiro frame. Os resultados podem ser escritos como um par ordenado de dois números, onde ambos os números são zero ou positivos, e a soma dos dois números até no máximo 10 – desde que o máximo que você pode derrubar em um frame seja 10 pinos.
Na notação definida, isto é escrito
Os primeiros nove frames do jogo funcionam da mesma forma.
O décimo frame do jogo é ligeiramente diferente. Se conseguir um strike no primeiro arremesso, ou um spare no segundo arremesso, consegue fazer um terceiro arremesso de bónus no décimo frame. Portanto o décimo frame tem de ser representado por três números, com relações especiais dependendo se é feito um strike ou um spare.
Existem quatro possibilidades diferentes:
-Dois lançamentos são feitos, menos de 10 são derrubados (nenhum terceiro lançamento)
-O segundo lançamento faz um spare
-O primeiro lançamento é um strike, mas o segundo não é
-Dois lançamentos são feitos
A notação fica mais complicada, mas essencialmente é como você escreveria estas quatro possibilidades na notação definida. Here is the formal description:
Therefore, we can write a bowling game as nine pairs of elements from set A and one element from set B.
In other words, a bowling game is a sequence:
And viola, we have a mathematical way to write out a bowling game.
We will address how to account for scoring of spares and strikes in a bit, as this is more complicated.
How many bowling games are possible?
This question is easier to answer since we have a notation system for a bowling game.
We know the first nine frames of a bowling game are elements from set A and the tenth frame is from set B as described above.
It remains to count the number of elements in each of these sets. Então multiplicamos o número de formas de obter o número total de jogos.
O conjunto A é o número de formas que dois números inteiros positivos somam para 10 ou menos. Este é um problema clássico combinatório.
Existe uma forma inteligente de contar o número de soluções. Encontrei uma derivação através da Pesquisa de livros do Google para encontrar o número de formas n de soma de números inteiros não negativos para um número inteiro r:
Link para a página 46 dos Princípios e técnicas de combinação na Pesquisa de livros do Google
A fórmula é C(r + n -1, r)
No nosso conjunto de bowling, queremos encontrar a forma como dois números (n = 2) somam a 10 ou menos (r = 10, 9, 8, …, 0).
Queremos calcular a fórmula para cada valor de r e depois somá-los a todos. Isto é menos trabalho do que parece.
Para r = 10, vemos que a fórmula é C(11, 10) que é 11. Para r = 9, a fórmula passa a ser C(10, 9) que é 10. O padrão continua para valores mais baixos de r, então no final queremos somar 11 + 10 + 9 + … 1.
Isto é prontamente calculado como 66. Assim existem 66 formas para cada um dos primeiros nove quadros.
Agora queremos saber o número de formas para o décimo quadro.
O processo é o mesmo de antes. Eu vou poupar os detalhes sangrentos deste e apenas dizer que a resposta é 241.
Agora podemos calcular o número total de jogos de bowling multiplicando os números juntos.
O número total de jogos de bowling é (66 x 66 x 66 … x 66) (241) = (66 9) (241), que é aproximadamente 5.7 x 1018
Não é um número próximo do número de possíveis jogos de xadrez, mas ainda é um número realmente grande.
Para colocar isso em perspectiva, levaria o mundo inteiro (6,7 x 109), jogando um jogo todos os dias, mais de 2,3 milhões de anos para jogar tantos jogos diferentes.
Qual é a pontuação média de bowling?
Esta parte fica ainda mais complicada matematicamente.
O truque é converter os conjuntos em pontuações, baseado nas regras especiais para spares (bónus do próximo lançamento) e strikes (bónus dos próximos dois lançamentos).
Então a média pode ser calculada somando todas as pontuações possíveis pelo número de jogos, que foi derivada anteriormente.
A média da pontuação do bowling acaba por ser de cerca de 80 (ou, para ser mais preciso, mais como 79.7).
Toma isso como garantia de que mesmo uma pontuação modesta como 100 está acima da média!
Os detalhes da derivação são explicados no seguinte excerto:
Link to Mean bowling score no Google Books
O artigo é datado porque acaba por deixar em aberto uma questão de determinar a distribuição completa das pontuações do bowling. Isto de facto foi feito.
Qual é a distribuição das pontuações do bowling?
A questão final e realmente difícil é encontrar a distribuição do bowling.
Isso é, para cada pontuação n, qual é o número de formas s(n) para atingir essa pontuação.
Existem alguns casos em que a resposta é óbvia. Há apenas 1 forma de obter uma pontuação de 0, pois há apenas 1 forma de obter uma pontuação de 300, ou 299, ou 298, e assim sucessivamente até 291.
Os outros casos são mais complicados de perceber. Existem 20 formas de obter uma pontuação de 1, e existem 11 formas de obter uma pontuação de 290.
Para calcular toda a distribuição é necessário um cálculo inteligente. Os resultados estão descritos nesta maravilhosa página web que contém o seguinte gráfico agradável:
image source: all about bowling scores
Notice que as pontuações do bowling são fortemente enviesadas! Pontuações acima de 120 são menos prováveis uma vez que requer que um jogador receba um número razoável de spares e strikes.
Outra forma de pensar sobre isto é que mesmo uma pontuação modesta de 115 está no percentil 99.
Lembra-te disto da próxima vez que estiveres fora do bowling. Dada a gama de pontuações possíveis no bowling, a sua pontuação é provavelmente melhor do que pensa!
(Os percentis irão mudar se basearmos a distribuição nos dados reais do bowling. Infelizmente eu não consegui encontrar nenhuma estatística sobre isto.)