Scalar (matemática)

Julho 7, 2021admin

Os escalares são números reais usados em álgebra linear, ao contrário dos vectores. Esta imagem mostra um vetor euclidiano. Suas coordenadas x e y são escalares, assim como seu comprimento, mas v não é um escalar.

Escalares de espaços vetoriaisEdit

Um espaço vetorial é definido como um conjunto de vetores, um conjunto de escalares, e uma operação de multiplicação escalar que leva um escalar k e um vetor v para outro vetor kv. Por exemplo, num espaço de coordenadas, a multiplicação escalar k ( v 1 , v 2 , … , v n ) {\i1}displaystyle k(v_{1},v_{2},\i}dots ,v_{n})}

$k(v_1, v_2, {\i1}, v_n)$

rendimentos ( k v 1 , k v 2 , … , k v n ) {\i1,kv_{\i},kv_{\i},{\i}dots ,kv_{n})}

$(kv_1, kv_2, \dots, k v_n)$

. Em um espaço de função (linear), kƒ é a função x ↦ k(ƒ(x)).

Os escalares podem ser retirados de qualquer campo, incluindo os números racionais, algébricos, reais e complexos, assim como os campos finitos.

Escalares como componentes vetoriaisEditar

De acordo com um teorema fundamental da álgebra linear, cada espaço vetorial tem uma base. Segue-se que cada espaço vectorial sobre um campo escalar K é isomórfico a um espaço vectorial de coordenadas onde as coordenadas são elementos de K. Por exemplo, cada espaço vectorial real da dimensão n é isomórfico a um espaço real n-dimensional Rn.

Escalares em espaços vectoriais normalizadosEdit

Alternativamente, um espaço vectorial V pode ser equipado com uma função de norma que atribui a cada vector v em V um espaço escalar |||v|||. Por definição, multiplicar v por um k escalar também multiplica a sua norma por |k|. Se |||v|||| for interpretado como o comprimento de v, esta operação pode ser descrita como escalando o comprimento de v por k. Um espaço vetorial equipado com uma norma é chamado de espaço vetorial normalizado (ou espaço linear normalizado).

A norma é normalmente definida como sendo um elemento do campo escalar K de V, o que restringe este último a campos que suportam a noção de sinal. Além disso, se V tem dimensão 2 ou mais, K deve ser fechado sob raiz quadrada, assim como as quatro operações aritméticas; assim os números racionais Q são excluídos, mas o campo surd é aceitável. Por esta razão, nem todo espaço de produto escalar é um espaço vetorial normalizado.

Escalares em módulosEdit

Quando o requisito de que o conjunto de escalares formem um campo é relaxado de modo que ele só precisa formar um anel (de modo que, por exemplo, a divisão dos escalares não precisa ser definida, ou os escalares não precisam ser comutativos), a estrutura algébrica mais geral resultante é chamada de módulo.

Neste caso, os “escalares” podem ser objetos complicados. Por exemplo, se R é um anel, os vetores do espaço do produto Rn podem ser feitos em um módulo com as matrizes n×n com entradas de R como os escalares. Outro exemplo vem da teoria dos múltiplos, onde o espaço de seções do feixe tangente forma um módulo sobre a álgebra de funções reais no manifold.

Transformação em escalaEditar

A multiplicação escalar de espaços vetoriais e módulos é um caso especial de escala, um tipo de transformação linear.

Operações escalares (informática)Editar

Operações que se aplicam a um único valor de cada vez.

Processador escalar vs. processador vectorial ou super processador escalar
Variável (informática) por vezes também referida como “escalar”