The Distance Formula
= √(x – a)² + (y – b)²
As an example, the (Euclidean) distance between points (2, -1) and (-2, 2) is found to be
| dist((2, -1), (-2, 2)) | = √(2 – (-2))² + ((-1) – 2)² | |
| = √(2 + 2)² + (-1 – 2)² | ||
| = √(4)² + (-3)² | ||
| = √16 + 9 | ||
| = √25 | ||
| = 5. |
The source of this formula is in the Pythagorean theorem. Look at the diagram
The horizontal distance between the points is 4 and the vertical distance is 3. Let’s introduce one more point (-2, -1). Com esta pequena adição obtemos um triângulo em ângulo recto com as pernas 3 e 4. Pelo teorema de Pitágoras, o quadrado da hipotenusa é (hipotenusa)² = 3² + 4². O que dá o comprimento da hipotenusa como 5, o mesmo que a distância entre os dois pontos de acordo com a fórmula da distância. Este é sempre o caso: o segmento de linha reta cujo comprimento é tomado como a distância entre seus pontos finais serve sempre como uma hipotenusa de um triângulo direito (de fato, de infinitamente muitos deles. Nós apenas escolhemos o mais conveniente.)
Quão boa é a fórmula de distância (euclidiana) para medir distâncias reais? Isto depende das circunstâncias. No plano – uma vez que a Terra é redonda, isto significa dentro de áreas relativamente pequenas da superfície da Terra – é bastante boa, desde que a distância seja exatamente o que você quer estimar. Se a pergunta é: Quão rápido você pode chegar de um ponto a outro enquanto se move a uma determinada velocidade, a fórmula Euclidiana pode não ser muito útil fornecendo a resposta. De fato, em uma cidade – apenas para dar um exemplo – é muitas vezes impossível mover-se de um ponto diretamente para outro. Há edifícios, ruas ocupadas com trânsito, cercas e o que não, a serem contabilizados. Em uma cidade, muitas vezes se descobre que a fórmula da distância do taxicab
dist((x, y), (a, b)) = |x – a| + |y – b|
é mais útil. Em matemática, a distância euclidiana é a mais fundamental. Como mostra uma das provas mecânicas do teorema de Pitágoras, o mesmo se aplica à física, embora em ambas as ciências não seja a única fórmula de distância utilizada.
Taxicab/City-block Distance.
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