The Long Road to Maxwell’s Equations

Se quiser prestar homenagem ao grande físico James Clerk Maxwell, não lhe faltaria um local para o fazer. Há um marco memorial na abadia de Westminster em Londres, não muito longe do túmulo de Isaac Newton. Uma estátua magnífica foi recentemente instalada em Edimburgo, perto da sua terra natal. Ou pode prestar os seus respeitos no seu local de descanso final, perto do Castelo Douglas, no sudoeste da Escócia, a uma curta distância da sua amada propriedade ancestral. Eles são monumentos apropriados à pessoa que desenvolveu a primeira teoria unificada da física, que mostrou que a eletricidade e o magnetismo estão intimamente ligados.

Mas o que estes marcos não refletem é o fato de que, na época da morte de Maxwell em 1879, sua teoria eletromagnética – que sustenta tanto do nosso mundo tecnológico moderno – ainda não estava em solo sólido.

Uma quantidade extraordinária de informação sobre o mundo – as regras básicas pelas quais a luz se comporta, a corrente flui, e as funções do magnetismo – pode ser reduzida a quatro elegantes equações. Hoje, estas são conhecidas coletivamente como equações de Maxwell, e podem ser encontradas em quase todos os livros de engenharia introdutória e física.

Pode-se argumentar que estas equações começaram há 150 anos atrás neste mês, quando Maxwell apresentou sua teoria unindo eletricidade e magnetismo perante a Royal Society of London, publicando um relatório completo no ano seguinte, em 1865. Foi este trabalho que preparou o palco para todas as grandes realizações em física, telecomunicações e engenharia elétrica que se seguiriam.

Mas havia uma longa lacuna entre a apresentação e a utilização. Os fundamentos matemáticos e conceituais da teoria de Maxwell eram tão complicados e contraintuitivos que sua teoria foi largamente negligenciada após sua primeira introdução.

Foram necessários quase 25 anos para que um pequeno grupo de físicos, eles próprios obcecados com os mistérios da eletricidade e do magnetismo, colocasse a teoria de Maxwell em bases sólidas. Foram eles que reuniram as evidências experimentais necessárias para confirmar que a luz é constituída por ondas eletromagnéticas. E foram eles que deram às suas equações a sua forma actual. Sem os esforços hercúleos deste grupo de “Maxwellianos”, assim chamados pelo historiador Bruce J. Hunt, da Universidade do Texas em Austin, poderia ter levado décadas mais até que nossa concepção moderna de eletricidade e magnetismo fosse amplamente adotada. E isso teria atrasado toda a incrível ciência e tecnologia que se seguiria.

Hoje em dia, aprendemos cedo que a luz visível é apenas um pedaço do amplo espectro eletromagnético, cuja radiação é composta de campos elétricos e magnéticos oscilantes. E aprendemos que a electricidade e o magnetismo estão inextricavelmente ligados; um campo magnético em mudança cria um campo eléctrico, e a corrente e os campos eléctricos em mudança dão origem a campos magnéticos.

Temos de agradecer a Maxwell por estes conhecimentos básicos. Mas elas não lhe ocorreram de repente e do nada. As evidências que ele precisava chegaram em pedaços, ao longo de mais de 50 anos.

Você poderia iniciar o relógio em 1800, quando o físico Alessandro Volta relatou a invenção de uma bateria, o que permitiu aos experimentadores começarem a trabalhar com corrente contínua direta. Cerca de 20 anos mais tarde, Hans Christian Ørsted obteve a primeira evidência de uma ligação entre electricidade e magnetismo, demonstrando que a agulha de uma bússola se moveria quando se aproximasse de um fio transportador de corrente. Pouco depois, André-Marie Ampère mostrou que dois fios condutores de corrente paralela podiam ser feitos para exibir uma atração ou repulsão mútua, dependendo da direção relativa das correntes. E no início dos anos 1830, Michael Faraday tinha mostrado que assim como a eletricidade poderia influenciar o comportamento de um ímã, um ímã poderia afetar a eletricidade, quando ele mostrou que desenhar um ímã através de um laço de fio poderia gerar corrente.

Estas observações eram evidências parcelares do comportamento que ninguém realmente entendia de forma sistemática ou abrangente. O que era realmente corrente elétrica? Como é que um fio condutor de corrente alcançava e torcia um íman? E como é que um íman em movimento criava corrente?

Uma grande semente foi plantada por Faraday, que imaginou um misterioso e invisível “estado electrotónico” em torno do íman – o que hoje chamaríamos um campo. Ele afirmou que as mudanças nesse estado eletrotônico são o que causa os fenômenos eletromagnéticos. E Faraday fez a hipótese de que a própria luz era uma onda eletromagnética. Mas moldar estas ideias numa teoria completa estava para além das suas capacidades matemáticas. Esse foi o estado de coisas quando Maxwell entrou em cena.

Nos anos 1850, após graduar-se na Universidade de Cambridge, na Inglaterra, Maxwell começou a tentar fazer sentido matemático das observações e teorias de Faraday. Na sua tentativa inicial, um artigo de 1855 chamado “On Faraday’s Lines of Force”, Maxwell concebeu um modelo por analogia, mostrando que as equações que descrevem o fluxo de fluidos incompressíveis também podiam ser usadas para resolver problemas com campos eléctricos ou magnéticos imutáveis.

O seu trabalho foi interrompido por uma enxurrada de distracções. Ele aceitou um emprego em 1856 no Marischal College, em Aberdeen, Escócia; dedicou vários anos a um estudo matemático da estabilidade dos anéis de Saturno; foi demitido numa fusão universitária em 1860; e contraiu varíola e quase morreu antes de finalmente aceitar um novo emprego, como professor no King’s College London.

De alguma forma, em tudo isso, Maxwell encontrou tempo para dar corpo à teoria de campo de Faraday. Embora ainda não fosse uma teoria completa do eletromagnetismo, um artigo que ele publicou em várias partes em 1861 e 1862 provou ser um passo importante.

Construindo sobre idéias anteriores, Maxwell imaginou uma espécie de meio molecular no qual campos magnéticos são matrizes de vórtices giratórios. Cada um destes vórtices é rodeado por pequenas partículas de alguma forma que ajudam a transportar a rotação de um vórtice para outro. Embora mais tarde ele o tenha posto de lado, Maxwell descobriu que esta visão mecânica ajudou a descrever uma gama de fenómenos electromagnéticos. Talvez mais crucialmente, ela lançou as bases para um novo conceito físico: a corrente de deslocamento.

Corrente de deslocamento não é realmente corrente. É uma forma de descrever como a mudança no campo eléctrico que passa por uma determinada área pode dar origem a um campo magnético, tal como uma corrente faz. No modelo de Maxwell, a corrente de deslocamento surge quando uma alteração no campo eléctrico provoca uma alteração momentânea na posição das partículas no meio do vortex. O movimento destas partículas gera uma corrente.

Uma das manifestações mais dramáticas da corrente de deslocamento está no condensador, onde em alguns circuitos a energia armazenada entre duas placas num condensador oscila entre valores altos e baixos. Neste sistema, é bastante fácil visualizar como funcionaria o modelo mecânico de Maxwell. Se o capacitor contém um material isolante, dielétrico, você pode pensar na corrente de deslocamento como decorrente do movimento dos elétrons que estão ligados aos núcleos dos átomos. Estes oscilam de um lado para o outro, como se estivessem presos a elásticos esticados. Mas a corrente de deslocamento de Maxwell é mais fundamental do que isso. Ela pode surgir em qualquer meio, incluindo o vácuo do espaço, onde não há elétrons disponíveis para criar uma corrente. E tal como uma corrente real, dá origem a um campo magnético.

Com a adição deste conceito, Maxwell tinha os elementos básicos necessários para ligar as propriedades mensuráveis do circuito a duas constantes, agora fora de uso, que exprimem a rapidez com que os campos eléctricos e magnéticos se formam em resposta a uma tensão ou corrente. (Hoje em dia, formulamos estas constantes fundamentais de forma diferente, pois a permissividade e permeabilidade do espaço livre.)

Tal como uma constante de mola determina a rapidez com que uma mola ricocheteia após ser esticada ou comprimida, estas constantes podem ser combinadas para determinar a velocidade com que uma onda electromagnética viaja no espaço livre. Depois que outros determinaram seus valores usando experimentos com capacitores e indutores, Maxwell foi capaz de estimar a velocidade de uma onda eletromagnética no vácuo. Quando ele comparou o valor com as estimativas existentes da velocidade da luz, ele concluiu a partir de sua quase igualdade que a luz deve ser uma onda eletromagnética.

Maxwell completou as últimas peças-chave de sua teoria eletromagnética em 1864, quando ele tinha 33 anos (embora ele tenha feito algumas simplificações em trabalhos posteriores). Em sua palestra de 1864 e no trabalho que se seguiu, ele deixou o modelo mecânico para trás, mas manteve o conceito de corrente de deslocamento. Focalizando na matemática, ele descreveu como a eletricidade e o magnetismo estão ligados e como, uma vez devidamente gerados, eles se movem em conjunto para fazer uma onda eletromagnética.

Este trabalho é a base do nosso entendimento moderno do eletromagnetismo, e fornece aos físicos e engenheiros todas as ferramentas necessárias para calcular as relações entre cargas, campos elétricos, correntes e campos magnéticos.

Mas o que deveria ter sido um golpe foi, na verdade, recebido com extremo ceticismo, mesmo por parte dos colegas mais próximos de Maxwell. Um dos mais cépticos foi Sir William Thomson (mais tarde Lord Kelvin). Um líder da comunidade científica britânica na época, Thomson simplesmente não acreditava que algo como corrente de deslocamento pudesse existir.

A sua objeção era natural. Uma coisa era pensar em uma corrente de deslocamento em um dielétrico cheio de átomos. Uma coisa era imaginá-la se formando no nada de um vácuo. Sem um modelo mecânico para descrever este ambiente e sem cargas elétricas em movimento, não era claro o que era a corrente de deslocamento ou como ela poderia surgir. Esta falta de um mecanismo físico era de mau gosto para muitos físicos da época vitoriana. Hoje, é claro, estamos dispostos a aceitar teorias físicas, como a mecânica quântica, que desafiam nossa intuição física cotidiana, desde que sejam matematicamente rigorosas e tenham grande poder preditivo.

Os contemporâneos de Maxwell perceberam outras grandes falhas em sua teoria. Por exemplo, Maxwell postulou que os campos elétricos e magnéticos oscilantes juntos formam ondas, mas ele não descreveu como eles se movem através do espaço. Todas as ondas conhecidas neste momento requeriam um meio no qual viajar. Ondas sonoras viajam no ar e na água. Então, se as ondas eletromagnéticas existissem, físicos da época raciocinavam, deve haver um meio para carregá-las, mesmo que esse meio não pudesse ser visto, provado ou tocado.

Maxwell também acreditava em tal meio, ou éter. Ele esperava que ele preenchesse todo o espaço e que o comportamento eletromagnético fosse o resultado de tensões, tensões e movimentos nesse éter. Mas em 1865, e em seu último tratado de dois volumes sobre eletricidade e magnetismo, Maxwell apresentou suas equações sem nenhum modelo mecânico para justificar como ou porque essas ondas eletromagnéticas místicas poderiam possivelmente se propagar. Para muitos de seus contemporâneos, esta falta de modelo fez com que a teoria de Maxwell parecesse gravemente incompleta.

Talvez mais crucial, a própria descrição de Maxwell de sua teoria foi surpreendentemente complicada. Os estudantes universitários podem saudar as quatro equações de Maxwell com terror, mas a formulação de Maxwell era muito mais confusa. Para escrever as equações economicamente, precisamos de matemática que não estava totalmente madura quando Maxwell estava conduzindo seu trabalho. Especificamente, precisamos de cálculo vectorial, uma forma de codificar compactamente as equações diferenciais dos vectores em três dimensões.

A teoria de Maxwell hoje pode ser resumida por quatro equações. Mas a sua formulação tomou a forma de 20 equações simultâneas, com 20 variáveis. Os componentes dimensionais de suas equações (as direções x, y, e z) tiveram que ser explicados separadamente. E ele empregou algumas variáveis contraintuitivas. Hoje, estamos habituados a pensar e trabalhar com campos eléctricos e magnéticos. Mas Maxwell trabalhava principalmente com outro tipo de campo, uma quantidade que ele chamava de momento eletromagnético, a partir do qual ele calculava os campos elétricos e magnéticos que Faraday imaginou pela primeira vez. Maxwell pode ter escolhido esse nome para o campo – hoje conhecido como potencial vetor magnético – porque sua derivada em relação ao tempo produz uma força elétrica. Mas o potencial não nos favorece quando se trata de calcular muitos comportamentos electromagnéticos simples em limites, tais como a forma como as ondas electromagnéticas se reflectem numa superfície condutora.

O resultado líquido de toda esta complexidade é que quando a teoria de Maxwell fez a sua estreia, quase ninguém estava a prestar atenção.

Mas algumas pessoas estavam. E uma delas era Oliver Heaviside. Uma vez descrito por um amigo como uma “estranheza de primeira categoria”, Heaviside, que foi criado em extrema pobreza e era parcialmente surdo, nunca frequentou a universidade. Em vez disso, ele se ensinou ciências avançadas e matemática.

Heaviside estava na casa dos 20 e trabalhava como telegrafista em Newcastle, no nordeste da Inglaterra, quando ele obteve o Tratado de Maxwell de 1873. “Eu vi que era grande, maior e maior”, escreveu ele mais tarde. “Estava determinado a dominar o livro e a começar a trabalhar.” No ano seguinte, ele deixou seu trabalho e se mudou com seus pais para aprender Maxwell.

Foi Heaviside, trabalhando em grande parte em reclusão, que colocou as equações de Maxwell em sua forma atual. No verão de 1884, Heaviside estava investigando como a energia se movia de um lugar para outro em um circuito elétrico. Será essa energia, ele se perguntava, transportada pela corrente num fio ou no campo eletromagnético que a cercava?

Heaviside acabou reproduzindo um resultado que já havia sido publicado por outro físico britânico, John Henry Poynting. Mas ele continuou a avançar, e no processo de trabalhar através do complicado cálculo vectorial, aconteceu uma forma de reformular a pontuação de Maxwell nas quatro equações que usamos hoje.

A chave estava a eliminar o estranho potencial vectorial magnético de Maxwell. “Eu nunca fiz nenhum progresso até ter atirado todos os potenciais borda fora”, disse Heaviside mais tarde. A nova formulação, em vez disso, colocou os campos elétricos e magnéticos à frente e no centro.

Uma das consequências do trabalho foi que ele expôs a bela simetria nas equações de Maxwell. Uma das quatro equações descreve como um campo magnético em mudança cria um campo elétrico (a descoberta de Faraday), e outra descreve como um campo elétrico em mudança cria um campo magnético (a famosa corrente de deslocamento, adicionada por Maxwell).

Esta formulação também expôs um mistério. As cargas elétricas, como elétrons e íons, têm linhas de campo elétrico em torno deles que irradiam da carga. Mas não há nenhuma fonte de linhas de campo magnético: No nosso universo conhecido, as linhas de campo magnético são sempre laços contínuos, sem início nem fim.

Esta assimetria perturbou Heaviside, pelo que acrescentou um termo que representa uma “carga” magnética, assumindo que esta ainda não tinha sido descoberta. E de facto ainda não foi. Desde então, os físicos têm conduzido extensas buscas por tais cargas magnéticas, também chamadas de monopolos magnéticos. Mas elas nunca foram encontradas.

P>Parou, a corrente magnética é um artifício útil para resolver problemas eletromagnéticos com alguns tipos de geometrias, como o comportamento da radiação movendo-se através de uma fenda em uma folha condutora.

Se Heaviside modificou as equações de Maxwell neste grau, por que não as chamamos de equações de Heaviside? Heaviside respondeu ele próprio a esta pergunta em 1893 no prefácio do primeiro volume da sua publicação de três volumes, Teoria Electromagnética. Ele escreveu que se temos boas razões para “acreditar que ele teria admitido a necessidade de mudança quando apontado para ele, então eu acho que a teoria modificada resultante pode muito bem ser chamada de Maxwell”

Elegância Matemática era uma coisa. Mas encontrar evidências experimentais para a teoria de Maxwell era outra coisa. Quando Maxwell faleceu em 1879, aos 48 anos, a sua teoria ainda era considerada incompleta. Não havia evidência empírica de que a luz é composta de ondas eletromagnéticas, além do fato de que a velocidade da luz visível e a da radiação eletromagnética pareciam coincidir. Além disso, Maxwell não abordou especificamente muitas das qualidades que a radiação eletromagnética deveria ter se ela compõe a luz, ou seja, comportamentos como reflexão e refração.

Físicos George Francis FitzGerald e Oliver Lodge trabalharam para fortalecer a ligação com a luz. Proponentes do Tratado de Maxwell de 1873, a dupla encontrou-se no ano anterior à morte de Maxwell numa reunião da Associação Britânica para o Progresso da Ciência em Dublin, e começaram a colaborar, em grande parte através da troca de cartas. Sua correspondência um com o outro e com Heaviside ajudou a avançar o entendimento teórico da teoria de Maxwell.

Como o historiador Hunt esboça em seu livro, The Maxwellians, Lodge e FitzGerald também esperava encontrar evidências experimentais para apoiar a idéia de que a luz é uma onda eletromagnética. Mas aqui eles não tiveram muito sucesso. No final da década de 1870, Lodge desenvolveu alguns circuitos que ele esperava ser capaz de converter eletricidade de baixa freqüência em luz de alta freqüência, mas o esforço se esfriou quando Lodge e FitzGerald perceberam que seus esquemas criariam radiação de freqüência muito baixa para ser detectada pelos olhos.

No início de uma década depois, Lodge estava realizando experimentos sobre proteção contra raios quando notou que a descarga de capacitores ao longo dos fios produzia arcos. Curioso, ele mudou o comprimento dos fios e descobriu que podia realizar faíscas espetaculares. Ele deduziu corretamente que esta era a ação de uma onda eletromagnética em ressonância. Ele descobriu que com energia suficiente, ele realmente podia ver o ar se ionizando ao redor dos fios, uma ilustração dramática de uma onda em pé.

Agora confiante de que ele estava gerando e detectando ondas eletromagnéticas, Lodge planejou relatar seus surpreendentes resultados em uma reunião da Associação Britânica, logo após retornar de umas férias nos Alpes. Mas enquanto lia um diário no comboio para fora de Liverpool, descobriu que tinha sido apanhado. Na edição de julho de 1888 de Annalen der Physik, ele encontrou um artigo intitulado “Über elektrodynamische Wellen im Luftraum und deren Reflexion” (“Sobre ondas eletrodinâmicas no ar e sua reflexão”) escrito por um pesquisador alemão pouco conhecido, Heinrich Hertz.

O trabalho experimental de Hertz sobre o assunto começou na Technische Hochschule (hoje Instituto de Tecnologia de Karlsruhe) em Karlsruhe, Alemanha, em 1886. Ele notou que algo curioso aconteceu quando ele descarregou um condensador através de um laço de arame. Um laço idêntico a uma curta distância desenvolveu arcos através dos seus terminais não ligados. Hertz reconheceu que as faíscas no loop não conectado eram causadas pela recepção de ondas eletromagnéticas que haviam sido geradas pelo loop com o capacitor de descarga.

Inspirado, Hertz usou faíscas em tais loops para detectar ondas de rádio-frequência não vistas. Ele passou a conduzir experimentos para verificar que ondas eletromagnéticas exibem comportamentos de reflexão, refração, difração e polarização semelhantes à luz. Ele realizou uma série de experimentos tanto no espaço livre quanto ao longo dos fios. Ele moldou um prisma de metro de comprimento feito de asfalto que era transparente às ondas de rádio e usou-o para observar exemplos relativamente grandes de reflexão e refração. Ele lançou ondas de rádio em direção a uma grade de fios paralelos e mostrou que elas refletiriam ou passariam através da grade, dependendo da orientação da grade. Isto demonstrou que as ondas eletromagnéticas eram transversais: Elas oscilam, tal como a luz, numa direcção perpendicular à direcção da sua propagação. Hertz também refletia ondas de rádio de uma grande folha de zinco, medindo a distância entre os nulos cancelados nas ondas em pé resultantes, a fim de determinar os seus comprimentos de onda.

Com estes dados – juntamente com a frequência da radiação, que ele calculou medindo a capacitância e indutância de seu circuito como antena transmissora – Hertz foi capaz de calcular a velocidade de suas ondas invisíveis, que era bastante próxima da conhecida pela luz visível.

Maxwell tinha postulado que a luz era uma onda electromagnética. Hertz mostrou que havia provavelmente um universo inteiro de ondas electromagnéticas invisíveis que se comportam da mesma forma que a luz visível e que se movem através do espaço à mesma velocidade. Esta revelação foi suficiente, por inferência, para muitos aceitarem que a própria luz é uma onda eletromagnética.

O desapontamento de Lodge por ter sido colhida foi mais do que compensado pela beleza e completude do trabalho de Hertz. Lodge e FitzGerald trabalharam para popularizar as descobertas da Hertz, apresentando-as perante a Associação Britânica. Quase imediatamente, o trabalho da Hertz passou a informar o desenvolvimento da telegrafia sem fio. As primeiras encarnações da tecnologia empregada foram os transmissores muito parecidos com os dispositivos de fagulhas de banda larga que a Hertz utilizava.

Os cientistas aceitaram que as ondas podiam viajar através de nada. E o conceito de um campo, a princípio desagradável porque lhe faltavam peças mecânicas para fazê-lo funcionar, tornou-se central para grande parte da física moderna.

Havia muito mais por vir. Mas mesmo antes do final do século XIX, graças ao esforço obstinado de alguns entusiastas dedicados, o legado de Maxwell era seguro.

Sobre o Autor

James C. Rautio é o fundador da Sonnet Software.