Cât de bun este scorul tău la bowling?
.
.
„Totul va fi bine dacă îți folosești mintea pentru deciziile tale și nu te gândești decât la deciziile tale.” Din 2007, mi-am dedicat viața pentru a împărtăși bucuria teoriei jocurilor și a matematicii. MindYourDecisions are acum peste 1.000 de articole gratuite, fără reclame, datorită sprijinului comunității! Ajutați și obțineți acces anticipat la articole cu o promisiune pe Patreon.
.
.
De obicei, joc bowling cu un scor în jur de 130, dar zilele trecute am dat șase lovituri și am terminat cu 215.
Am luat un moment pentru a mă bucura de scorul mare, dar apoi m-am gândit mai critic. Eram curios să aflu cât de bun era scorul din punct de vedere statistic.
Eram cu niște prieteni pasionați de matematică și discuția noastră a adus multe întrebări.
Câte jocuri de bowling diferite sunt posibile? Care este scorul mediu la bowling? În câte moduri se poate obține fiecare scor la bowling (care este distribuția scorurilor la bowling)?
Am făcut un pic de cercetare și am fost încântat să aflu că oamenii au făcut deja calcule matematice pentru a răspunde la aceste întrebări. Iată o parte din matematica interesantă.
Scrierea unui joc de bowling în termeni matematici
Primul pas al problemei este de a traduce un joc de bowling în matematică. Ideea este de a dezvolta o notație de mână scurtă pentru a descrie compact jocul. Voi urma notația dezvoltată în acest articol „Is the Mean Bowling Score Awful.”
Considerați primul cadru al unui joc. Care sunt rezultatele posibile atunci când aruncați mingea?
O singură posibilitate este să doborâți toate cele 10 popice cu un strike și primul cadru se încheie.
Celealaltă posibilitate este să nu doborâți toate cele 10 popice. Atunci aveți o a doua șansă de a lovi popicele rămase. Dacă doborâți popicele rămase, este o rezervă.
Matematic, putem modela popicele ca un set de două numere: numărul de popice doborâte la prima aruncare și numărul de la a doua aruncare. Putem scrie acest lucru ca un set ordonat (prima aruncare, a doua aruncare) = (x , y).
Dacă doborâți 3 popice și apoi 4, setul este (3, 4). Sau dacă doborâți 3 și apoi 7 pentru a face o rezervă, acesta ar fi scris (3, 7)
Într-un strike doborâți toate cele 10 popice și nu primiți o a doua aruncare. Putem scrie acest caz special ca (10, 0), înțelegând că de fapt nu ați făcut niciodată o a doua aruncare.
Cu această notație, putem descrie compact rezultatele posibile în primul cadru. Rezultatele pot fi scrise ca o pereche ordonată de două numere, în care ambele numere sunt zero sau pozitive, iar suma celor două numere este de cel mult 10 – din moment ce maximul pe care îl puteți doborî într-un cadru este de 10 popice.
În notație de set, acest lucru se scrie
Primele nouă cadre ale jocului funcționează în același mod.
Cel de-al zecelea cadru al jocului este ușor diferit. Dacă obțineți un strike la prima aruncare, sau un spare la a doua aruncare, puteți face o a treia aruncare bonus în al zecelea cadru. Prin urmare, al zecelea cadru trebuie să fie reprezentat de trei numere, cu relații speciale în funcție de faptul dacă se face o lovitură sau o rezervă.
Există patru posibilități diferite:
– Se fac două aruncări, mai puțin de 10 sunt doborâte (nu se face a treia aruncare)
– A doua aruncare face o rezervă
– Prima aruncare este o lovitură, dar a doua nu este
– Se fac două lovituri
Notația devine mai complicată, dar, în esență, este modul în care ați scrie aceste patru posibilități în notație de set. Here is the formal description:
Therefore, we can write a bowling game as nine pairs of elements from set A and one element from set B.
In other words, a bowling game is a sequence:
And viola, we have a mathematical way to write out a bowling game.
We will address how to account for scoring of spares and strikes in a bit, as this is more complicated.
How many bowling games are possible?
This question is easier to answer since we have a notation system for a bowling game.
We know the first nine frames of a bowling game are elements from set A and the tenth frame is from set B as described above.
It remains to count the number of elements in each of these sets. Apoi înmulțim numărul de moduri pentru a obține numărul total de jocuri.
Asamblul A este numărul de moduri în care două numere întregi pozitive au suma 10 sau mai mică. Aceasta este o problemă clasică de combinatorică.
Există o modalitate inteligentă de a număra numărul de soluții. Am găsit o derivare prin intermediul Google Books pentru a găsi numărul de moduri în care n numere întregi nenegative însumează un număr întreg r:
Link către pagina 46 din Principles and techniques in combinatorics la Google Books
Formula este C(r + n -1, r)
În setul nostru de popice, vrem să găsim modul în care două numere (n = 2) însumează 10 sau mai puțin (r = 10, 9, 8, …, 0).
Vrem să calculăm formula pentru fiecare valoare a lui r și apoi să le adunăm pe toate. Este mai puțin de lucru decât pare.
Pentru r = 10, vedem că formula este C(11, 10) care este 11. Pentru r = 9, formula devine C(10, 9) care este 10. Modelul continuă pentru valori mai mici ale lui r, așa că, în final, vrem să adunăm 11 + 10 + 9 + … 1.
Acest lucru se calculează ușor ca 66. Astfel, există 66 de moduri pentru fiecare dintre primele nouă cadre.
Acum vrem să știm numărul de moduri pentru cel de-al zecelea cadru.
Procesul este același ca înainte. Voi cruța detaliile sângeroase de data aceasta și voi spune doar că răspunsul este 241.
Acum putem calcula numărul total de jocuri de bowling prin înmulțirea numerelor împreună.
Numărul total de jocuri de bowling este (66 x 66 x 66 … x 66 … x 66) (241) = (66 9) (241), care este aproximativ 5.7 x 1018
Aceasta nu se apropie nici pe departe de numărul de partide de șah posibile, dar este totuși un număr foarte mare.
Pentru a pune lucrurile în perspectivă, ar fi nevoie de întreaga lume (6,7 x 109), jucând un joc în fiecare zi, peste 2,3 milioane de ani pentru a juca atâtea jocuri diferite.
Care este scorul mediu la bowling?
Această parte devine și mai complicată din punct de vedere matematic.
Șmecheria este de a converti seturile în scoruri, pe baza regulilor speciale pentru spares (bonusul de la următoarea aruncare) și strikes (bonusul de la următoarele două aruncări).
Apoi media poate fi calculată prin însumarea tuturor scorurilor posibile cu numărul de jocuri, care a fost derivat mai devreme.
Scopul mediu la bowling se dovedește a fi de aproximativ 80 (sau, mai exact, mai degrabă de 79.7).
Considerați acest lucru ca o reasigurare a faptului că până și un scor modest, cum ar fi 100, este peste medie!
Detalii de derivare sunt explicate în următorul extras:
Link to Mean bowling score at Google Books
Articolul este datat pentru că se încheie cu lăsarea unei întrebări deschise privind determinarea distribuției complete a scorurilor la bowling. Acest lucru, de fapt, a fost făcut.
Ce este distribuția scorurilor la bowling?
Întrebarea finală și cu adevărat dificilă este găsirea distribuției la bowling.
Acest lucru este, pentru fiecare scor n, care este numărul de moduri s(n) de a obține acel scor.
Există unele cazuri în care răspunsul este evident. Există o singură modalitate de a obține un scor 0, așa cum există o singură modalitate de a obține un scor de 300, sau 299, sau 298, și așa mai departe până la 291.
Celelalte cazuri sunt mai complicate de deslușit. Există 20 de moduri în care puteți obține scorul 1 și există 11 moduri de a obține scorul 290.
Pentru a afla întreaga distribuție este nevoie de un calcul inteligent. Rezultatele sunt descrise în această minunată pagină web care conține următorul grafic simpatic:
Sursa imaginii: All about bowling scores
Observați că scorurile la bowling sunt puternic distorsionate! Scorurile de peste 120 sunt mai puțin probabile, deoarece necesită ca un jucător să obțină un număr rezonabil de spares și strikes.
Un alt mod de a ne gândi la acest lucru este că până și un scor modest de 115 este în percentila 99.
Amintește-ți acest lucru data viitoare când ieșiți la bowling. Având în vedere gama de scoruri posibile la bowling, scorul dvs. este probabil mai bun decât credeți!
(Percentilele se vor schimba dacă vom baza distribuția pe date reale de bowling. Din păcate, nu am reușit să găsesc nicio statistică în acest sens.)
.