Fizică

Exemplu 1. Calcularea vitezelor în urma unei coliziuni elastice

Calculați vitezele a două obiecte în urma unei coliziuni elastice, având în vedere că m1 = 0,500 kg, m2 = 3,50 kg, v1 = 4,00 m/s și v2 = 0.

Strategie și concept

În primul rând, vizualizați ce înseamnă condițiile inițiale – un obiect mic lovește un obiect mai mare care este inițial în repaus. Această situație este puțin mai simplă decât cea prezentată în figura 1, în care ambele obiecte sunt inițial în mișcare. Ni se cere să găsim două necunoscute (vitezele finale v′1 și v′2). Pentru a găsi două necunoscute, trebuie să folosim două ecuații independente. Deoarece această coliziune este elastică, putem utiliza cele două ecuații de mai sus. Ambele pot fi simplificate prin faptul că obiectul 2 este inițial în repaus și, prin urmare, v2=0. După ce simplificăm aceste ecuații, le combinăm algebric pentru a rezolva necunoscutele.

Soluție

Pentru această problemă, rețineți că v2=0 și folosiți conservarea impulsului. Astfel,

p1 = p′1 + p′2 sau m1v1=m1v′1+m2v′2.

Utilizând conservarea energiei cinetice interne și faptul că v2=0,

\frac{1}{2}m_1{v_1}^2=\frac{1}{2}{2}m_1{v′_1}^2+\frac{1}{2}{2}m_2{v′_2}^2\\

Soluționând prima ecuație (ecuația momentului) pentru v′2, se obține

v′_2=\frac{m_1}{m_2}\left(v_1-v′_1\right)\\\.

Substituind această expresie în cea de-a doua ecuație (ecuația energiei cinetice interne) se elimină variabila v′2, rămânând doar v′1 ca necunoscută (algebra este lăsată ca exercițiu pentru cititor). Există două soluții pentru orice ecuație pătratică; în acest exemplu, ele sunt

v′1 = 4 . 00 m/s și v′1=-3,00 m/s.

Așa cum s-a observat atunci când au fost întâlnite ecuații pătratice în capitolele anterioare, ambele soluții pot fi sau nu semnificative. În acest caz, prima soluție este aceeași cu cea a condiției inițiale. Astfel, prima soluție reprezintă situația dinaintea coliziunii și este eliminată. A doua soluție (v′1=-3,00 m/s) este negativă, ceea ce înseamnă că primul obiect ricoșează înapoi. Când această valoare negativă a lui v′1 este folosită pentru a găsi viteza celui de-al doilea obiect după coliziune, obținem

v′_2=\frac{m_1}{m_2}\left(v_1-v′_1\right)=\frac{0.500\text{ kg}}}{3.50\text{ kg}}\left\text{m/s}\\\\

sau

v′2=1.00 m/s.

Discuție

Rezultatul acestui exemplu este intuitiv rezonabil. Un obiect mic lovește un obiect mai mare aflat în repaus și ricoșează înapoi. Cel mai mare este izbit în față, dar cu o viteză mică. (Este ca și cum o mașină compactă ricoșează înapoi într-un SUV de dimensiuni mari care se află inițial în repaus). Ca o verificare, încercați să calculați energia cinetică internă înainte și după coliziune. Veți vedea că energia cinetică internă este neschimbată la 4,00 J. Verificați, de asemenea, impulsul total înainte și după coliziune; veți constata că și acesta este neschimbat.

Ecuațiile de conservare a impulsului și a energiei cinetice interne, așa cum sunt scrise mai sus, pot fi folosite pentru a descrie orice coliziune elastică unidimensională a două obiecte. Aceste ecuații pot fi extinse la mai multe obiecte, dacă este necesar.

.