Math As Language: Înțelegerea semnului de egalitate

mai 15, 2021admin

Este ușor de uitat că matematica este un limbaj de comunicare a ideilor. Ca și cuvinte, „doi și trei este egal cu cinci” este greoi. Înlocuirea numerelor și a operațiilor cu simboluri ajută: „2 + 3 este egal cu 5”.

Dar putem face mai mult. În 1557, Robert Recorde a inventat semnul egalității, scris cu două linii paralele (=), deoarece „noe 2 thynges, can be moare equalle”.

„2 + 3 = 5” este mult mai ușor de citit. Din nefericire, sensul lui „egal” se schimbă în funcție de context – întrebați-i pe programatorii care trebuie să distingă =, == și ===.

Un „egal” B este o concluzie generică: ce relație specifică încercăm să transmitem?

Simplificare

Văd „2 + 3 = 5” ca fiind „2 + 3 poate fi simplificat la 5”. Semnul egal trece de la o formă complexă din stânga la o formă echivalentă, mai simplă, din dreapta.

Asimilare temporară

Afirmații precum „viteza = 50” înseamnă „viteza este 50, pentru acest scenariu”. Este bună doar pentru problema respectivă și nu este nevoie să ne amintim acest „fapt”.

Conexiune fundamentală

Considerați un adevăr matematic precum $a^2 + b^2 = c^2$, unde a, b și c sunt laturile unui triunghi dreptunghic.

Citesc acest semn de egalitate ca fiind „trebuie să fie întotdeauna egal cu” sau „poate fi văzut ca”, deoarece afirmă o relație permanentă, nu o coincidență. Aritmetica lui $3^2 + 4^2 = 5^2$ este o simplificare; geometria lui $a^2 + b^2 = c^2$ este un adevăr matematic profund.

Formula pentru a adăuga 1 la n este:

$\displaystyle{\frac{n(n+1)}{2}}$

care poate fi văzută ca un tip de rearanjare geometrică, combinatorică, medie sau chiar întocmire de liste.

Definiție reală

Afirmații precum

$\displaystyle{e = \lim_{n\to\infty} \left( 1 + \frac{100\%}{n} \right)^n}$

sunt definiții alese de noi; partea stângă este o prescurtare pentru partea dreaptă. Este similar cu atribuirea temporară, dar rezervat pentru „fapte” care nu se vor schimba între scenarii (e are întotdeauna aceeași valoare în fiecare ecuație, dar „viteza” se poate schimba).

Constrângeri

Aici este una dificilă. Am putea scrie

x + y = 5

x – y = 3

care indică condițiile pe care dorim să fie adevărate. Eu citesc asta ca „x + y ar trebui să fie 5, dacă este posibil” și „x – y ar trebui să fie 3, dacă este posibil”. Dacă satisfacem constrângerile (x=4, y=1), minunat!

Dacă nu putem îndeplini ambele obiective (x + y = 5; 2x + 2y = 9), atunci ecuațiile ar putea fi adevărate individual, dar nu împreună.

Exemplu: Demistificarea formulei lui Euler

Dezlegarea semnului egalității m-a ajutat să descifrez formula lui Euler:

$\displaystyle{e^{i \cdot \pi} = -1}$

O fiară ciudată, într-adevăr. Ce tip de „egalitate” este aceasta?

Un pedant ar putea spune că este doar o simplificare și să scoată calusul pentru a o demonstra. Acest lucru nu este lămuritor: există o relație fundamentală care trebuie descoperită.

e^i*pi se referă la aceeași destinație ca și -1. Două degete îndreptate spre aceeași lună.

Ambele sunt moduri de a descrie „cealaltă parte a cercului unitar, la 180 de grade distanță”. -1 merge pe jos până acolo, pășind direct prin iarbă, în timp ce e^i*pi ia calea panoramică și se rotește prin dimensiunea imaginară. Acest lucru funcționează pentru orice punct de pe cerc: rotește-te acolo, sau deplasează-te în linie dreaptă.

firma lui Euler's formula

Două căi cu aceeași destinație: asta înseamnă egalitatea lor. Move beyond a generic equals and find the deeper, specific connection („simplifies to”, „has been chosen to be”, „refers to the same concept as”).

Happy math.

Math As Language: Înțelegerea semnului de egalitate

Exemplu: Demistificarea formulei lui Euler

Other Posts In This Series

Lasă un răspuns Anulează răspunsul