Rați și proporții și cum să le rezolvăm

Să vorbim despre rapoarte și proporții. Când vorbim despre viteza unei mașini sau a unui avion, o măsurăm în mile pe oră. Acest lucru se numește rată și este un tip de raport. Un raport este o modalitate de a compara două cantități folosind diviziunea, ca în cazul milelor pe oră, unde comparăm milele și orele.

Un raport poate fi scris în trei moduri diferite și toate se citesc ca „raportul dintre x și y”

$$$x\: to\: y$$$

$$$x:y$$$

$$$\frac{x}{y}$$$

O proporție, pe de altă parte, este o ecuație care spune că două rapoarte sunt echivalente. De exemplu, dacă un pachet de amestec pentru prăjituri produce 20 de prăjituri, atunci ar fi același lucru cu a spune că două pachete vor produce 40 de prăjituri.

$$\frac{20}{1}=\frac{40}{2}$$

O proporție se citește ca „x este pentru y cât z este pentru w”

$$\frac{x}{y}=\frac{z}{w} \: where\: y,w\neq 0$$

If one number in a proportion is unknown you can find that number by solving the proportion.

Example

You know that to make 20 pancakes you have to use 2 eggs. How many eggs are needed to make 100 pancakes?

	Eggs	pancakes
Small amount	2	20
Large amount	x	100

$$\frac{eggs}{pancakes}=\frac{eggs}{pancakes}\: \: or\: \: \frac{pancakes}{eggs}=\frac{pancakes}{eggs}$$

If we write the unknown number in the nominator then we can solve this as any other equation

$$\frac{x}{100}=\frac{2}{20}$$

Multiply both sides with 100

$${\color{green} {100\, \cdot }}}\\, \frac{x}{100}={\color{green} {100\, \cdot }}\\, \frac{2}{20}$$

$$x=\frac{200}{20}$$

$$x=10$$

Dacă numărul necunoscut se află la numitor putem folosi o altă metodă care implică produsul încrucișat. Produsul încrucișat este produsul dintre numărătorul unuia dintre rapoarte și numitorul celui de-al doilea raport. Produsele încrucișate ale unei proporții sunt întotdeauna egale

Dacă folosim din nou exemplul cu amestecul de fursecuri folosit mai sus

$$$\frac{{\color{green} {20}}}{{\color{blue} {1}}}=\frac{{\color{blue}} {40}}}}{{{\color{green} {2}}}$$

$${\color{blue} {1}}\cdot {\color{blue} {40}}={\color{green} {2}}\cdot {\color{green} {20}}=40$$

Se spune că într-o proporție dacă

$$$\frac{x}{y}=\frac{z}{w} \: unde\: y,w\neq 0$$

$$xw=yz$$$

Dacă te uiți la o hartă, aceasta îți spune întotdeauna într-unul din colțuri că 1 centimetru al hărții corespunde unei distanțe mult mai mari în realitate. Acest lucru se numește scalare. Adesea folosim scalarea pentru a reprezenta diverse obiecte. Scalarea implică recrearea unui model al obiectului și împărtășirea proporțiilor sale, dar în care dimensiunea diferă. Se poate scala în sus (mărire) sau în jos (reducere). De exemplu, scara de 1:4 reprezintă o pătrime. Astfel, orice măsură pe care o vedem în model ar fi 1/4 din măsura reală. Dacă dorim să calculăm invers, în cazul în care avem un zid înalt de 6 metri și dorim să îl reproducem la scara 1:4, pur și simplu calculăm:

$$20\cdot 1:4=20\cdot \frac{1}{4}=5$$

Într-un model la scara 1:X, unde X este o constantă, toate măsurătorile devin 1/X – din măsura reală. Aceeași matematică se aplică atunci când dorim să mărim. Reprezentând ceva la scara de 2:1, toate măsurătorile devin atunci de două ori mai mari decât în realitate. Împărțim la 2 atunci când dorim să găsim măsura reală.

Lecție video

Găsește x

$$$\frac{x}{x + 20} = \frac{24}{54}$$