Scalar (matematică)

iulie 7, 2021admin

Scalarii sunt numere reale folosite în algebra liniară, spre deosebire de vectori. Această imagine prezintă un vector euclidian. Coordonatele sale x și y sunt scalari, la fel ca și lungimea sa, dar v nu este un scalar.

Scalari ai spațiilor vectorialeEdit

Un spațiu vectorial este definit ca un set de vectori, un set de scalari și o operație de înmulțire scalară care duce un scalar k și un vector v la un alt vector kv. De exemplu, într-un spațiu de coordonate, înmulțirea scalară k ( v 1 , v 2 , … , v n ) {\displaystyle k(v_{1},v_{2},\dots ,v_{n})}

$k(v_1, v_2, \dots, v_n)$

produce ( k v 1 , k v 2 , … , k v n ) {\displaystyle (kv_{1},kv_{2},\dots ,kv_{n})}

$(kv_1, kv_2, \dots, k v_n)$

. Într-un spațiu de funcții (liniar), kƒ este funcția x ↦ k(ƒ(x)).

Scalarii pot fi luați din orice câmp, inclusiv numerele raționale, algebrice, reale și complexe, precum și câmpurile finite.

Scalarii ca și componente vectorialeEdit

Conform unei teoreme fundamentale a algebrei liniare, fiecare spațiu vectorial are o bază. Rezultă că orice spațiu vectorial peste un câmp scalar K este izomorf cu un spațiu vectorial de coordonate în care coordonatele sunt elemente ale lui K. De exemplu, orice spațiu vectorial real de dimensiune n este izomorf cu spațiul real n-dimensional Rn.

Scalari în spații vectoriale normateEdit

Alternativ, un spațiu vectorial V poate fi echipat cu o funcție normă care atribuie fiecărui vector v din V un scalar ||v||. Prin definiție, înmulțirea lui v cu un scalar k înmulțește, de asemenea, norma sa cu |k|. Dacă ||v||| este interpretat ca lungime a lui v, această operație poate fi descrisă ca o scalare a lungimii lui v cu k. Un spațiu vectorial echipat cu o normă se numește spațiu vectorial normat (sau spațiu liniar normat).

Norma este de obicei definită ca fiind un element al câmpului scalar K al lui V, ceea ce îl restrânge pe acesta din urmă la câmpuri care suportă noțiunea de semn. Mai mult, dacă V are dimensiunea 2 sau mai mare, K trebuie să fie închis sub rădăcina pătrată, precum și sub cele patru operații aritmetice; astfel, numerele raționale Q sunt excluse, dar câmpul surd este acceptabil. Din acest motiv, nu orice spațiu cu produs scalar este un spațiu vectorial normat.

Scalari în moduleEdit

Când cerința ca setul de scalari să formeze un câmp este relaxată astfel încât acesta trebuie să formeze doar un inel (astfel încât, de exemplu, nu este necesar ca diviziunea scalarilor să fie definită, sau scalarii să nu fie comutativi), structura algebrică mai generală rezultată se numește modul.

În acest caz „scalarii” pot fi obiecte complicate. De exemplu, dacă R este un inel, vectorii din spațiul produsului Rn pot fi transformați într-un modul cu matricile n×n cu intrări din R ca scalari. Un alt exemplu provine din teoria mulțimilor, unde spațiul secțiunilor fasciculului tangent formează un modul peste algebra funcțiilor reale pe mulțimea respectivă.

Transformarea scalarăEdit

Înmulțirea scalară a spațiilor vectoriale și a modulelor este un caz special de scalare, un fel de transformare liniară.

Operații scalare (informatică)Edit

Operații care se aplică unei singure valori la un moment dat.

Procesor scalar vs. procesor vectorial sau procesor superscalar
Variabilă (informatică) denumită uneori și „scalar”