Fraktal

A Closer Look

Fraktale werden oft mit rekursiven Operationen auf Formen oder Zahlenmengen in Verbindung gebracht, bei denen das Ergebnis der Operation als Eingabe für die gleiche Operation verwendet wird, wobei der Prozess unendlich wiederholt wird. Die Operationen selbst sind in der Regel sehr einfach, aber die daraus resultierenden Formen oder Mengen sind oft dramatisch und komplex und haben interessante Eigenschaften. So kann beispielsweise eine fraktale Menge, ein so genannter Cantor-Staub, ausgehend von einem Liniensegment konstruiert werden, indem dessen mittleres Drittel entfernt und der Vorgang an den verbleibenden Liniensegmenten wiederholt wird. Wenn dieser Vorgang unendlich oft wiederholt wird, bleibt nur ein Staub aus Punkten übrig. Diese Punktmenge hat die Länge Null, obwohl es unendlich viele Punkte in der Menge gibt. Das Sierpinski-Dreieck (oder die Sierpinski-Dichtung) ist ein weiteres Beispiel für ein solches rekursives Konstruktionsverfahren mit Dreiecken (siehe Abbildung). Beide Mengen haben Teilmengen, die genau dieselbe Form haben wie die gesamte Menge, eine Eigenschaft, die als Selbstähnlichkeit bekannt ist. Unter bestimmten Definitionen von Dimensionen werden Fraktale als nicht-ganzzahlige Dimensionen betrachtet: Die Dimension des Sierpinski-Dreiecks beispielsweise wird im Allgemeinen mit etwa 1,585 angegeben, also höher als eine eindimensionale Linie, aber niedriger als eine zweidimensionale Oberfläche. Das vielleicht berühmteste Fraktal ist die Mandelbrot-Menge, d. h. die Menge der komplexen Zahlen C, für die eine bestimmte, sehr einfache Funktion Z2 + C, die auf ihrem eigenen Ausgang (beginnend mit Null) iteriert, schließlich auf einen oder mehrere konstante Werte konvergiert. Fraktale entstehen im Zusammenhang mit nichtlinearen und chaotischen Systemen und werden häufig bei der Computermodellierung regelmäßiger und unregelmäßiger Muster und Strukturen in der Natur verwendet, z. B. beim Wachstum von Pflanzen und den statistischen Mustern des saisonalen Wetters.