fractal

A Closer Look

Les fractales sont souvent associées à des opérations récursives sur des formes ou des ensembles de nombres, dans lesquelles le résultat de l’opération est utilisé comme entrée de la même opération, répétant le processus indéfiniment. Les opérations elles-mêmes sont généralement très simples, mais les formes ou les ensembles qui en résultent sont souvent spectaculaires et complexes, avec des propriétés intéressantes. Par exemple, un ensemble fractal appelé poussière de Cantor peut être construit à partir d’un segment de ligne en enlevant son tiers central et en répétant le processus sur les segments de ligne restants. Si ce processus est répété indéfiniment, il ne reste qu’une poussière de points. Cet ensemble de points a une longueur nulle, même s’il y a un nombre infini de points dans l’ensemble. Le triangle de Sierpinski (ou joint de Sierpinski) est un autre exemple d’une telle procédure de construction récursive impliquant des triangles (voir l’illustration). Ces deux ensembles ont des sous-parties qui ont exactement la même forme que l’ensemble, une propriété connue sous le nom d’autosimilarité. Selon certaines définitions de la dimension, les fractales sont considérées comme ayant une dimension non entière : par exemple, la dimension du triangle de Sierpinski est généralement considérée comme étant d’environ 1,585, ce qui est supérieur à une ligne unidimensionnelle, mais inférieur à une surface bidimensionnelle. La fractale la plus célèbre est peut-être l’ensemble de Mandelbrot, qui est l’ensemble des nombres complexes C pour lesquels une certaine fonction très simple, Z2 + C, itérée sur sa propre sortie (en commençant par zéro), converge finalement vers une ou plusieurs valeurs constantes. Les fractales apparaissent en relation avec des systèmes non linéaires et chaotiques, et sont largement utilisées dans la modélisation informatique de modèles et de structures réguliers et irréguliers dans la nature, tels que la croissance des plantes et les modèles statistiques de la météo saisonnière.