fractal

Een nadere beschouwing

Fractals worden vaak geassocieerd met recursieve bewerkingen op vormen of reeksen getallen, waarbij het resultaat van de bewerking wordt gebruikt als invoer voor dezelfde bewerking, waarbij het proces zich oneindig herhaalt. De bewerkingen zelf zijn meestal heel eenvoudig, maar de resulterende vormen of verzamelingen zijn vaak dramatisch en complex, met interessante eigenschappen. Zo kan bijvoorbeeld een fractale verzameling, een Cantor-stof genaamd, worden geconstrueerd beginnend met een lijnstuk door het middelste derde ervan te verwijderen en het proces te herhalen op de resterende lijnstukken. Als dit proces oneindig wordt herhaald, blijft er slechts een puntenstof over. Deze verzameling punten heeft nul lengte, hoewel er een oneindig aantal punten in de verzameling is. De Sierpinski-driehoek (of Sierpinski-pakking) is een ander voorbeeld van zo’n recursieve constructieprocedure met driehoeken (zie de illustratie). Beide verzamelingen hebben subdelen die precies dezelfde vorm hebben als de gehele verzameling, een eigenschap die bekend staat als zelfgelijkvormigheid. Onder bepaalde definities van dimensie worden fractals geacht een niet-integere dimensie te hebben: de dimensie van de Sierpinski driehoek bijvoorbeeld wordt over het algemeen geacht ongeveer 1,585 te zijn, hoger dan een eendimensionale lijn, maar lager dan een tweedimensionaal oppervlak. Misschien wel de beroemdste fractal is de Mandelbrotverzameling, dat is de verzameling complexe getallen C waarvoor een bepaalde zeer eenvoudige functie, Z2 + C, itererend op zijn eigen uitgang (beginnend bij nul), uiteindelijk convergeert naar één of meer constante waarden. Fractals ontstaan in verband met niet-lineaire en chaotische systemen, en worden veel gebruikt bij computermodellering van regelmatige en onregelmatige patronen en structuren in de natuur, zoals de groei van planten en de statistische patronen van seizoensgebonden weer.