fractal

A Closer Look

I frattali sono spesso associati a operazioni ricorsive su forme o insiemi di numeri, in cui il risultato dell’operazione è usato come input per la stessa operazione, ripetendo il processo all’infinito. Le operazioni stesse sono di solito molto semplici, ma le forme o gli insiemi risultanti sono spesso drammatici e complessi, con proprietà interessanti. Per esempio, un insieme frattale chiamato polvere di Cantor può essere costruito a partire da un segmento di linea rimuovendo il suo terzo centrale e ripetendo il processo sui segmenti di linea rimanenti. Se questo processo viene ripetuto all’infinito, rimane solo una polvere di punti. Questo insieme di punti ha lunghezza zero, anche se c’è un numero infinito di punti nell’insieme. Il triangolo di Sierpinski (o guarnizione di Sierpinski) è un altro esempio di tale procedura di costruzione ricorsiva che coinvolge i triangoli (vedi l’illustrazione). Entrambi questi insiemi hanno sottoparti che hanno esattamente la stessa forma dell’intero insieme, una proprietà nota come autosimilarità. Sotto certe definizioni di dimensione, i frattali sono considerati avere una dimensione non intera: per esempio, la dimensione del triangolo di Sierpinski è generalmente considerata intorno a 1,585, superiore a una linea unidimensionale, ma inferiore a una superficie bidimensionale. Forse il frattale più famoso è l’insieme di Mandelbrot, che è l’insieme dei numeri complessi C per i quali una certa funzione molto semplice, Z2 + C, iterata sulla propria uscita (partendo da zero), alla fine converge su uno o più valori costanti. I frattali sorgono in connessione con sistemi non lineari e caotici, e sono ampiamente utilizzati nella modellazione al computer di modelli e strutture regolari e irregolari in natura, come la crescita delle piante e i modelli statistici del tempo stagionale.