fraktál

Blíže

Fraktály jsou často spojovány s rekurzivními operacemi na tvarech nebo množinách čísel, kdy je výsledek operace použit jako vstup pro stejnou operaci a proces se opakuje donekonečna. Samotné operace jsou obvykle velmi jednoduché, ale výsledné tvary nebo množiny jsou často dramatické a složité a mají zajímavé vlastnosti. Například fraktální množinu zvanou Cantorův prach lze sestrojit tak, že z úsečky odstraníme její prostřední třetinu a proces opakujeme na zbývajících úsečkách. Pokud se tento proces opakuje donekonečna, zůstane pouze prach bodů. Tato množina bodů má nulovou délku, přestože je v ní nekonečný počet bodů. Dalším příkladem takového rekurzivního postupu konstrukce zahrnujícího trojúhelníky je Sierpinskiho trojúhelník (nebo Sierpinskiho těsnění) (viz obrázek). Obě tyto množiny mají dílčí části, které mají přesně stejný tvar jako celá množina, což je vlastnost známá jako soběpodobnost. Podle určitých definic dimenze se má za to, že fraktály mají neceločíselný rozměr: například rozměr Sierpińského trojúhelníku se obecně považuje za přibližně 1,585, což je více než jednorozměrná přímka, ale méně než dvourozměrný povrch. Snad nejznámějším fraktálem je Mandelbrotova množina, což je množina komplexních čísel C, pro kterou určitá velmi jednoduchá funkce Z2 + C, iterovaná na vlastním výstupu (počínaje nulou), nakonec konverguje k jedné nebo více konstantním hodnotám. Fraktály vznikají v souvislosti s nelineárními a chaotickými systémy a jsou široce využívány při počítačovém modelování pravidelných a nepravidelných vzorů a struktur v přírodě, jako je růst rostlin a statistické vzorce sezónního počasí.