fractal

A Closer Look

Fractal は、図形や数値の集合に対する再帰的演算と関連付けられることが多く、演算結果が同じ演算への入力として使用されて、プロセスが無制限に繰り返されることになる。 演算自体は非常に単純であるが、結果として得られる図形や集合はしばしば劇的で複雑なものとなり、興味深い性質を持つ。 例えば、カントール塵と呼ばれるフラクタル集合は、ある線分からその中央3分の1を取り除き、残りの線分に対してその処理を繰り返すことで構築される。 この作業を無限に繰り返すと、点の塵だけが残る。 この点の集合は、点の数が無限であるにもかかわらず、長さがゼロである。 シェルピンスキーの三角形（またはシェルピンスキーのガスケット）も、三角形を含むこのような再帰的構成手順の一例である（図参照）。 これらの集合は、いずれも集合全体と全く同じ形をした部分集合であり、自己相似性と呼ばれる性質がある。 例えば、シェルピンスキーの三角形の次元は一般に1.585程度とされ、1次元の直線よりは大きいが、2次元の曲面よりは小さいとされている。 おそらく最も有名なフラクタルはマンデルブロ集合で、これはある非常に単純な関数Z2 + Cを自身の出力（0から始まる）に対して反復したとき、最終的に一つ以上の定数値に収束する複素数Cの集合である。 フラクタルは、非線形系やカオス系に関連して発生し、植物の成長や季節ごとの天候の統計的パターンなど、自然界の規則正しいパターンや構造のコンピュータモデリングに広く利用されている。