fraktal

En närmare titt

Fraktaler förknippas ofta med rekursiva operationer på former eller sifferuppsättningar, där resultatet av operationen används som indata till samma operation, vilket upprepar processen i all oändlighet. Operationerna i sig är vanligtvis mycket enkla, men de resulterande formerna eller mängderna är ofta dramatiska och komplexa, med intressanta egenskaper. Till exempel kan man konstruera en fraktal uppsättning som kallas Cantorstoft genom att börja med ett linjesegment genom att ta bort den mittersta tredjedelen och upprepa processen på de återstående linjesegmenten. Om denna process upprepas i all oändlighet återstår endast ett damm av punkter. Denna punktmängd har noll längd, trots att det finns ett oändligt antal punkter i mängden. Sierpinski-triangeln (eller Sierpinski-packningen) är ett annat exempel på ett sådant rekursivt konstruktionsförfarande med trianglar (se illustrationen). Båda dessa uppsättningar har underdelar som har exakt samma form som hela uppsättningen, en egenskap som kallas självlikhet. Enligt vissa definitioner av dimension anses fraktaler ha en icke heltal dimension: till exempel anses dimensionen för Sierpinski-triangeln i allmänhet vara omkring 1,585, vilket är högre än en endimensionell linje, men lägre än en tvådimensionell yta. Den kanske mest kända fraktalen är Mandelbrot-mängden, som är den mängd komplexa tal C för vilka en viss mycket enkel funktion, Z2 + C, som itereras på sitt eget resultat (med början vid noll), slutligen konvergerar mot ett eller flera konstanta värden. Fraktaler uppstår i samband med icke-linjära och kaotiska system och används ofta vid datormodellering av regelbundna och oregelbundna mönster och strukturer i naturen, t.ex. växternas tillväxt och de statistiska mönstren i säsongsbetonade väderförhållanden.