fractal

A Closer Look

A fraktálokat gyakran alakzatokon vagy számhalmazokon végzett rekurzív műveletekkel hozzák kapcsolatba, amelyek során a művelet eredményét ugyanannak a műveletnek az inputjaként használják, a folyamatot a végtelenségig ismételve. Maguk a műveletek általában nagyon egyszerűek, de az eredményül kapott alakzatok vagy halmazok gyakran drámaiak és összetettek, érdekes tulajdonságokkal. Például egy Cantor-pornak nevezett fraktálhalmaz egy vonalszakaszból kiindulva úgy konstruálható, hogy annak középső harmadát eltávolítjuk, és a folyamatot a fennmaradó vonalszakaszokon megismételjük. Ha ezt a folyamatot a végtelenségig ismételjük, csak egy pontokból álló por marad. Ez a ponthalmaz nulla hosszúságú, annak ellenére, hogy a halmazban végtelen számú pont van. A Sierpinski-háromszög (vagy Sierpinski-tömítés) egy másik példa egy ilyen rekurzív, háromszögeket érintő konstrukciós eljárásra (lásd az ábrát). Mindkét halmaznak vannak olyan részhalmazai, amelyek pontosan ugyanolyan alakúak, mint a teljes halmaz, ez az önhasonlóságnak nevezett tulajdonság. A dimenzió bizonyos meghatározásai szerint a fraktálok dimenziója nem egész számú: például a Sierpinski-háromszög dimenzióját általában 1,585 körülinek tekintik, ami magasabb, mint egy egydimenziós vonalé, de alacsonyabb, mint egy kétdimenziós felületé. Talán a leghíresebb fraktál a Mandelbrot-halmaz, amely a C komplex számok azon halmaza, amelyre egy bizonyos nagyon egyszerű függvény, a Z2 + C, saját kimenetén iterálva (nullával kezdve) végül egy vagy több konstans értékhez konvergál. A fraktálok a nemlineáris és kaotikus rendszerekkel kapcsolatban merülnek fel, és széles körben használják a természetben található szabályos és szabálytalan minták és struktúrák számítógépes modellezésében, mint például a növények növekedése és az évszakos időjárás statisztikai mintái.