fractal

A Closer Look

Fraktale są często związane z rekurencyjnymi operacjami na kształtach lub zbiorach liczb, w których wynik operacji jest używany jako wejście do tej samej operacji, powtarzając proces w nieskończoność. Same operacje są zazwyczaj bardzo proste, ale powstałe kształty lub zbiory są często dramatyczne i złożone, z interesującymi właściwościami. Na przykład, zbiór fraktalny zwany pyłem Cantora może być skonstruowany zaczynając od odcinka linii poprzez usunięcie jego środkowej jednej trzeciej i powtórzenie procesu na pozostałych odcinkach linii. Jeśli ten proces jest powtarzany w nieskończoność, pozostaje tylko pył punktów. Ten zbiór punktów ma zerową długość, mimo że jest w nim nieskończenie wiele punktów. Trójkąt Sierpińskiego (lub uszczelka Sierpińskiego) jest innym przykładem takiej rekurencyjnej procedury konstrukcyjnej z użyciem trójkątów (patrz rysunek). Oba te zbiory mają części, które mają dokładnie taki sam kształt jak cały zbiór, jest to własność znana jako samopodobieństwo. Przy pewnych definicjach wymiaru, fraktale są uważane za mające nie-integralny wymiar: na przykład, wymiar trójkąta Sierpińskiego jest ogólnie przyjęty jako około 1.585, wyższy niż jednowymiarowa linia, ale niższy niż dwuwymiarowa powierzchnia. Być może najbardziej znanym fraktalem jest zbiór Mandelbrota, czyli zbiór liczb zespolonych C, dla których pewna bardzo prosta funkcja Z2 + C, iterowana na własnym wyjściu (zaczynając od zera), ostatecznie zbiega do jednej lub kilku stałych wartości. Fraktale powstają w związku z układami nieliniowymi i chaotycznymi, i są szeroko stosowane w komputerowym modelowaniu regularnych i nieregularnych wzorów i struktur w przyrodzie, takich jak wzrost roślin i statystyczne wzorce sezonowej pogody.